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lineare Hülle, Span etc: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Mo 06.06.2011
Autor: sissenge

Aufgabe
Sei B= { [mm] \wurzel{2}/2, [/mm] sin x ,cos x, sin(2x),cos(2x, sin(3x), cos(3x).....} und V= Span (B) [mm] \subset C([0,2\pi], [/mm] R) die lineare Hülle von B im reellen Vekotrraum [mm] C([0,2\pi],R) [/mm] der stetigen Funktionen f: [mm] [0,2\pi] \to [/mm] R. in anderen Worten
V={ [mm] a_{0}/2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] cos(kx) + [mm] b_{k} [/mm] sin (kx) : [mm] a_{0}, a_{k}, b_{k} \in [/mm] R, [mm] a_{k} \not= [/mm] 0, [mm] b_{k}\not=0 [/mm] nur für endlich viele k}

I) Zeigen Sie dass durch
(f,g)  = [mm] 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx} [/mm]
ein Skalarprodukt auf [mm] C([0,2\pi],R) [/mm] definiert wird. Machen sie sich dabei zunächst klar, warum die als Integranden auftretenden FUnktionen integrierbar sind


Ich habe keine Idee was ich machen könnte um das zu beweisen....Ich hoffe ihr könnt mir helfen

        
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mo 06.06.2011
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Sei B= { [mm]\wurzel{2}/2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sin x ,cos x, sin(2x),cos(2x,

> sin(3x), cos(3x).....} und V= Span (B) [mm]\subset C([0,2\pi],[/mm]
> R) die lineare Hülle von B im reellen Vekotrraum
> [mm]C([0,2\pi],R)[/mm] der stetigen Funktionen f: [mm][0,2\pi] \to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

R. in

> anderen Worten
>  V={ [mm]a_{0}/2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] cos(kx) + [mm]b_{k}[/mm]
> sin (kx) : [mm]a_{0}, a_{k}, b_{k} \in[/mm] R, [mm]a_{k} \not=[/mm] 0,
> [mm]b_{k}\not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

nur für endlich viele k}

>  
> I) Zeigen Sie dass durch
>  (f,g)  = [mm]1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}[/mm]
>  ein
> Skalarprodukt auf [mm]C([0,2\pi],R)[/mm] definiert wird. Machen sie
> sich dabei zunächst klar, warum die als Integranden
> auftretenden FUnktionen integrierbar sind
>  Ich habe keine Idee was ich machen könnte um das zu
> beweisen...


Das kann doch nicht sein ! Du mußt für f,g,h [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in \IR [/mm] zeigen:



    $ [mm] \langle f+g,h\rangle=\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle$ [/mm]
    $ [mm] \langle f,g+h\rangle=\langle f,g\rangle+\langle f,h\rangle$ [/mm]
    $ [mm] \langle f,\lambda g\rangle=\lambda\langle f,g\rangle=\langle\lambda f,g\rangle$ [/mm]

$ [mm] \langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle$ [/mm]
[mm] $\langle f,f\rangle\geq0$, [/mm] und [mm] $\langle f,f\rangle=0$ [/mm] genau dann, wenn f = 0

FRED




> .Ich hoffe ihr könnt mir helfen


Bezug
                
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Mo 06.06.2011
Autor: sissenge

Ja tut mir ja leid aber ich verstehe beweise einfach nicht und das inzwischen seit sechs semestern!!

Woher weiß ich denn, dass ich das beweisen muss???

Bezug
                        
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Mo 06.06.2011
Autor: M.Rex


> Ja tut mir ja leid aber ich verstehe beweise einfach nicht
> und das inzwischen seit sechs semestern!!
>  
> Woher weiß ich denn, dass ich das beweisen muss???

Da steht doch:

Zeigen Sie, dass durch .... ein Skalarprodukt auf ... definiert wird.

Also klopfe die Definition des Sklaraproduktes ab, und prüfe, ob sie erfüllt werden.

Marius


Bezug
                                
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Mo 06.06.2011
Autor: sissenge

KÖnntest du mir zum Beipsiel die erste Bedingung vormachen, damit ich das "Schema" erkennen kann.

Wäre echt super

Bezug
                                        
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 06.06.2011
Autor: fred97

$(f+g,h)  =  [mm] 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}({f(x)+g(x))h(x) dx}= 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)h(x) dx}+1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{g(x)h(x) dx}= [/mm] (f,h)+(g,h)$

FRED

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Bezug
lineare Hülle, Span etc: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Mo 06.06.2011
Autor: sissenge

Ahhh ok.. vielen Dank.....
so die anderen habe ich jetzt auch hin gekriegt nur bei dem letzten bräuchte ich noch hilfe.
(f,f) [mm] \ge [/mm] 0 und (f,f)=0 genau dann wenn f=0,

Reicht es bei (f,f) [mm] \ge [/mm] o zu sagen, dass im Summenzeichen ja dann ein quadrat steht und das kann ja bekanntlich nicht kleiner 0 sein und damit kann das Quadrat auch nur null sein, wenn f=0 ist...???

Bezug
                                                        
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lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 06.06.2011
Autor: fred97

Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig.

Wegen [mm] f(x)^2 \ge [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [a,b], ist auch [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} \ge [/mm] 0. Das folgt aus der Monotonie des Integrals.

Ist  [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] = 0, so ist  f [mm] \equiv [/mm] 0 auf [a,b]

FRED

Bezug
                                                                
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lineare Hülle, Span etc: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mo 06.06.2011
Autor: sissenge

Aufgabe
b) Zeigen Sie : B ist eine Orthonormalbasis von V=Span(B)

Ok... ist das nicht das gleiche wie ich geschrieben habe?? Danke!

Jetzt zu b) Ich dachte wenn B die Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt, dann ist es eine Orhtonormalbasis??

Bezug
                                                                        
Bezug
lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Di 07.06.2011
Autor: angela.h.b.


> b) Zeigen Sie : B ist eine Orthonormalbasis von V=Span(B)
>  Ok... ist das nicht das gleiche wie ich geschrieben habe??
> Danke!

Hallo,

der Grundgedanke war gleich.

>  
> Jetzt zu b) Ich dachte wenn B die Eigenschaften eines
> Skalarprodukts erfüllt,

B kann nicht die Eigenschaft eines Skalarproduktes haben:

ein Skalarprodukt ist eine Abbildung und B eine Menge von Vektoren.

Du mußt Dich mit den Definitionen und ihren Objekten eingehend beschäftigen, wenn Du erfolgreich beweisen möchtest. Ohne genaue Kenntnis der Definitionen können Beweise nicht gelingen.
Es reicht einfach nicht, wenn man weiß, daß ONB ziemlich viel mit Skalarprodukt zu tun hat.

> dann ist es eine
> Orhtonormalbasis??

B ist eine ONB, wenn es eine Basis ist, die Vektoren die "Länge" 1 haben und paarweise orthogonal sind.

Gruß v. Angela






Bezug
                                                                        
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lineare Hülle, Span etc: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Di 07.06.2011
Autor: fred97

Zur Klärung des Begriffs "Orthogonalbasis":

Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt (*|*).

Dann ist mit

               [mm] $||x||:=(x|x)^{1/2} [/mm]

V ein normierter Raum.

Eine Teilmenge S von V heißt eine Orthonormalbasis (ONB) von V, wenn S ein Othonormalsystem ist und wenn für jedes x [mm] \in [/mm] V die Fourierentwicklung (im Sinne obiger Norm)

   (*)          $x= [mm] \summe_{u \in S}^{}(x|u)u$ [/mm]



besteht.  


Im allgemeinen ist eine ONB von V keine algebraische  Basis (Hamel-Basis) von V  !!!

FRED

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