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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 23.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
wir betrachten den reellen Vektorraum V := Abb ( [mm] \IR [/mm] , [mm] \IR [/mm] ) der Funktion
[mm] \IR \to \IR
[/mm]
zeigen sie, dass die folgenden Vektoren f, g, h [mm] \in [/mm] V jeweils linear unabhängig sind:
f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x)
Meine Idee: sei a,b,c [mm] \in \IR
[/mm]
z.zg. ist:
1. f(x) , g(x) , h(x) sind l.u. bzw. a [mm] e^{x} [/mm] + b sin(x) + c cos(x) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b = c = 0
2. f(x) , g(x) sind l.u. bzw. a [mm] e^{x} [/mm] + b sin(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = b = 0
3. f(x) , h(x) sind l.u. bzw. a [mm] e^{x} [/mm] + b cos(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = b = 0
4. g(x) , h(x) sind l.u. bzw. a sin(x) + b cos(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = b = 0
dazu:
würde jetzt nicht reichen, wenn man annimmt, dass entsprechende Vektoren l.a. sind und man dann ein Gegenbsp. angibt?
also man würde z.B. zu 4. sagen : sei x=1 dann,
a sin(1) [mm] \not= [/mm] cos(1) [mm] \Rightarrow [/mm] g(x) , h(x) sind nicht l.a. also l.u.
Kann man diese Aufgabe so lösen? Danke schon mal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo zusammen,
Hallo,
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> wir betrachten den reellen Vektorraum V := Abb ( [mm]\IR[/mm] , [mm]\IR[/mm]
> ) der Funktion
> [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> zeigen sie, dass die folgenden Vektoren f, g, h [mm]\in[/mm] V
> jeweils linear unabhängig sind:
>
> f(x) = [mm]e^{x}[/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x)
>
> Meine Idee: sei a,b,c [mm]\in \IR[/mm]
> z.zg. ist:
> 1. f(x) , g(x) , h(x) sind l.u.
<==>
>a [mm]e^{x}[/mm] + b sin(x) + c cos(x) = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = b = c = 0
Genau, das ist zu zeigen.
Deine Punkte2.-4. kannst Du Dir getrost sparen, die sind mit 1. abgehakt, denn wenn alle drei Vektoren linear unabhängig sind, sind es auch zwei von ihnen.
> würde jetzt nicht reichen, wenn man annimmt, dass
> entsprechende Vektoren l.a. sind und man dann ein Gegenbsp.
> angibt?
Ich glaube, Du meinst etwas anderes als Du sagst... Du könntest annehmen, daß sie linear abhängig sind, und zeigen, daß das zum Widerspruch führt. Daraus würde folgen: sie sind linear unabhängig.
Aber hier kann man die Unabhängigkeit durchaus direkt zeigen.
Die Sache mit Deinem
>... sei x=1 ....
ist so wie's da steht, ziemlich kraus, ABER: es steckt der richtige Gedanke darin.
Ich mache Dir das jetzt mal mit Deinem Beispiel 4. vor, und Du holst Dir daraus Anregungen dafür, wie Du es bei dem hier interessierenden Beispiel 1. machen könntest, o.K.?
Beh. g, h [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] sind linear unabhängig.
Bew.: Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit
0=ag+bh
==> Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt 0=ag(x)+bh(x)=asin(x)+bcos(x)
[Also gilt das insbesondere für x=0 und für x= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ]
==> Es ist 0=asin(0)+bcos(0)=b und [mm] 0=asin(\bruch{\pi}{2})+bcos(\bruch{\pi}{2})=a
[/mm]
Also sind g,h linear unabhängig. [Beachte bitte, daß hier g und h steht und nicht etwa g(x)und f(x). Meditiere darüber.]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 23.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
danke schon mal für bisherige Hilfe. Ich denke ich habe verstanden, was du mit:
"[Beachte bitte, daß hier g und h steht und nicht etwa g(x)und f(x). Meditiere darüber.]"
meinst. Habe mir das so erklärt, dass es sich bei g, h zwar um Vektoren handelt, da sie aber [mm] \in [/mm] Abb [mm] (\IR, \IR) [/mm] , also irgendwie auch Funktionen sind (sorry wenn sich das total unwissend anhört) muss die l.u. also auch für g(x), h(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] gelten. Richtig?
Wo ich aber auf jedenfall noch Probleme mit habe ist folgender Teil:
"0=ag(x)+bh(x)=asin(x)+bcos(x)
[Also gilt das insbesondere für x=0 und für x= ( [mm] \bruch{ \pi}{2} [/mm] ) ]
==> Es ist 0=asin(0)+bcos(0)=b und
0= asin ( [mm] \bruch{ \pi}{2} [/mm] ) + bcos ( [mm] \bruch{ \pi}{2} [/mm] )"
1. Wie kommst du auf diese Werte? Dass durch diese Werte die Gleichung sich so lösen lässt ist klar. Aber muss ich diese Werte einfach entsprechend kennen oder kann ich sie auch einfach "errechnen"?
2. Reicht es die l.u. für diese beiden Werte zu zeigen? Sie muss doch für alle x [mm] \in \IR [/mm] gelten!?
Hoffentlich hab ich mich jetzt nicht total blamiert *schäm*.
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> Hallo nochmal,
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> danke schon mal für bisherige Hilfe. Ich denke ich habe
> verstanden, was du mit:
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> "[Beachte bitte, daß hier g und h steht und nicht etwa
> g(x)und f(x). Meditiere darüber.]"
>
> meinst. Habe mir das so erklärt, dass es sich bei g, h zwar
> um Vektoren handelt, da sie aber [mm]\in[/mm] Abb [mm](\IR, \IR)[/mm] , also
> irgendwie auch Funktionen sind (sorry wenn sich das total
> unwissend anhört)
Hallo,
f und g sind nicht irgendwie Funktionen, sondern sie sind Funktionen, völlig vollwertige Funktionen.
Sie sind - da hast Du recht - hier aber (auch) Vektoren. (So wie ich ein Mensch bin und eine Mathestudentin. Du völlig analog)
Was sind denn eigentlich Vektoren? Vektoren sind nichts anderes als Elemente eines Vektorraumes. Also: da festgestellt wurde, daß die Funktionen v. [mm] \IR \to \IR [/mm] einen vektorraum bilden, sind f,g Vektoren und man kann mit ihnen so rechnen, wie man es von Vektoren gelernt hat.
Die Bemerkung bzgl des f(x) zielte aber auf etwas völlig anderes: f(x) meint den Funktionswert an der Stelle x, f meint die Funktion als solche.
Wenn du Dir das klar machst, klärt sich vielleicht schon manches, was Du nicht verstanden hast.
>muss die l.u. also auch für g(x), h(x)
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] gelten. Richtig?
So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Wir betrachten hier einen Vektorraum von Funktionen, folglich prüfen wir die lineare Unabhängigkeit von Funktionen. Nicht von Funktionswerten, das wären ja Elemente aus [mm] \IR, [/mm] aber wir hantieren mit kompletten Funktionen.
Und weil das so ist, startet der Nachweis für lineare Unabhängigkeit mit
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit
0=ag+bh [ Das ist eine Linearkombination zweier FUNKTIONEN. Man muß sich auch einmal klarmachen, was hier mit 0 gemeint ist. Es ist nicht die reelle Zahl 0, sondern die Funktion, welche an allen Stellen den Wert 0 hat, wenn man es ganz genau nimmt, würde man schreiben
n=ag+bg mit [mm] n:\IR \to \IR [/mm] def. durch n(x):=0.
Und nun aufgepaßt: gleich kommen die Funktionswerte ins Spiel.
Wann sind Funktionen gleich? Wenn sie in allen ihren Funktionswerten übereinstimmen.
Das war die Vorrede zum Übergang zur nächsten Zeile. Es ist nämlich n=ag+bg, wenn für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt n(x)=(ag+bh)(x)=(ag)(x)+(bh)(x)=ag(x)+bh(x) ]
> Wo ich aber auf jedenfall noch Probleme mit habe ist
> folgender Teil:
>
> "0=ag(x)+bh(x)=asin(x)+bcos(x)
So. Das gilt für alle x. Für x=1, x=7,936 , [mm] x=10^{-27}. [/mm] Soweit noch klar?
>
> [Also gilt das insbesondere für x=0 und für x= ( [mm]\bruch{ \pi}{2}[/mm]
> ) ]
>
> ==> Es ist 0=asin(0)+bcos(0)=b und
> 0= asin ( [mm]\bruch{ \pi}{2}[/mm] ) + bcos ( [mm]\bruch{ \pi}{2}[/mm] )"
>
> 1. Wie kommst du auf diese Werte? Dass durch diese Werte
> die Gleichung sich so lösen lässt ist klar. Aber muss ich
> diese Werte einfach entsprechend kennen oder kann ich sie
> auch einfach "errechnen"?
Es gilt für alle x. Und von diesen allen x suche ich mir zwei aus, die für mich praktisch sind. Wo ich nicht viel rechnen muß. Ichhätte auch 7 und 9 nehmene können, nur - es hätte mich nicht so leicht weitergebracht.
>
> 2. Reicht es die l.u. für diese beiden Werte zu zeigen? Sie
> muss doch für alle x [mm]\in \IR[/mm] gelten!?
Es soll die lineare Unabhängigkeit zweier Funktionen g und h gezeigt werden.
Ich gehe davon aus, daß es eine Linearkombination der beiden Funktionen gibt, welche 0 ergibt. Bzw. n. n=ag+bh. Wie zeige ich lineare Unabhängigkeit? Indem ich -jetzt aufpassen!- FOLGERE, daß a und b zwangsläufig beide =0 sind.
Bei dieser g(x)- Geschichte bzw. beim Einsetzten von 0 und [mm] \bruch{ \pi}{2}, [/mm] geht es absolut nicht darum, lineare Unabhängigkeit an diesen Stellen zu zeige. Das wäre ja der totale Blödsinn, wie Du erkannt hast. Es geht darum, Informationen über a und b zu gewinnen. UInd das gelingt. Wir starten mit n=ag+bh. Folgern dies und folgern das (==>... ==>...), und am Ende unserer Kette aus Folgerungen steht a=b=0. Und weil also gilt: n=ag+bh ==> a=b=0, wissen wir nun, daß g und h unabhängig sind.
>
> Hoffentlich hab ich mich jetzt nicht total blamiert
Überhaupt nicht!
Ich fand, daß es sehr berechtigte Fragen waren, Fragen, die zeigen, daß Du Dich mit der Sache auseinandergesetzt hast.
Bei Deinen drei Funktionen suchtst Du Dir dann späer 3 praktische Funktionswerte, damit Du drei Gleichungen mit drei Variablen kriegst.
Viel Erfolg und
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Do 24.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
SUPER jetzt hab ichs verstanden. DANKE DANKE DANKE Bis dann ... ciao!
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