lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lolli |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Parameterwerte p derart, dass der Richtungsverkotr von [mm] g_{a} [/mm] = [mm] \vec{u_{g_{a}}}= \vektor{4\\3\\-5}, [/mm] der Normalenvektor vob [mm] E_{p} [/mm] = [mm] \vec{n_{p}} [/mm] = [mm] \vektor{5\\3p\\-p^{2}} [/mm] und der Vektor [mm] \overrightarrow{AH} [/mm] = [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\-2} [/mm] linear unabhängig sind. |
Einen schönen guten Abend liebe Matheraum-Members.
Beim Durchrechnen von Abituraufgaben als Vorbereitung auf das selbige, bin ich auf etwas gestoßen, dass für mich schon lang, lang her ist - die lineare Unabhängigkeit.
Aus der obigen Aufgabe habe ich erst einmal folgendes Gleichungssystem hergestellt:
aus [mm] r\*\vec{n_{p}} [/mm] + [mm] s\*\vec{u_{g_{a}}} [/mm] + [mm] t\*\vec{v} [/mm] = 0
linear unabhängig heißt ja, dass diese Gleichung nur trivial lösbar ist, also r=s=t=0 ist
jetzt das Gleichungssystem:
I 5r + 4s + t = 0
II 3pr + 3s = 0
III [mm] -p^{2}r [/mm] - 5s -2t = 0
I mit 2 erweitern und zu III addierern liefert:
IV (10 - [mm] p^{2})r [/mm] + 3s = 0
IV - II führt zu [mm] (-p^{2} [/mm] - 3p + 10)r = 0
So weit so gut. Nun meine Frage: da der Term [mm] -p^{2} [/mm] - 3p + 10 eine Zahl, also ein Vielfaches von r, verkörpert, d.h. r=0 triviale Lösung ist. (bei vorhergehnder Aufgabe hab ich schon festgestellt, dass die beiden anderen Vektoren nicht linear abhängig sind, muss ich das in diesem Abschnitt noch einmal explizit erwähnen?)
[mm] (-p^{2} [/mm] - 3p + 10)r = 0 gilt doch für alle p [mm] \in \IR
[/mm]
Gehe ich richtig davon aus, dass wenn der Term [mm] -p^{2} [/mm] - 3p + 10 = 0 wird, dass die Vektoren dann nicht linear unabhängig sind und ich die entsprechenden Lösungen [mm] p_{1} [/mm] = 2 und [mm] p_{2} [/mm] = -5 aus p [mm] \in \IR [/mm] rausnehmen muss??
Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar, da ich mir bei der korrekten Lösung für p nicht so sicher bin. Danke!!
mfg Lolli
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Hi, Lolli,
> Berechnen Sie alle Parameterwerte p derart, dass der
> Richtungsverkotr von [mm]g_{a}[/mm] = [mm]\vec{u_{g_{a}}}= \vektor{4\\3\\-5},[/mm]
> der Normalenvektor vob [mm]E_{p}[/mm] = [mm]\vec{n_{p}}[/mm] =
> [mm]\vektor{5\\3p\\-p^{2}}[/mm] und der Vektor [mm]\overrightarrow{AH}[/mm] =
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\-2}[/mm] linear unabhängig sind.
> Aus der obigen Aufgabe habe ich erst einmal folgendes
> Gleichungssystem hergestellt:
>
> aus [mm]r\*\vec{n_{p}}[/mm] + [mm]s\*\vec{u_{g_{a}}}[/mm] + [mm]t\*\vec{v}[/mm] = 0
>
> linear unabhängig heißt ja, dass diese Gleichung nur
> trivial lösbar ist, also r=s=t=0 ist
>
> jetzt das Gleichungssystem:
> I 5r + 4s + t = 0
> II 3pr + 3s = 0
> III [mm]-p^{2}r[/mm] - 5s -2t = 0
>
> I mit 2 erweitern und zu III addierern liefert:
> IV (10 - [mm]p^{2})r[/mm] + 3s = 0
>
> IV - II führt zu [mm](-p^{2}[/mm] - 3p + 10)r = 0
>
> So weit so gut. Nun meine Frage: da der Term [mm]-p^{2}[/mm] - 3p +
> 10 eine Zahl, also ein Vielfaches von r, verkörpert, d.h.
> r=0 triviale Lösung ist. (bei vorhergehnder Aufgabe hab
> ich schon festgestellt, dass die beiden anderen Vektoren
> nicht linear abhängig sind, muss ich das in diesem
> Abschnitt noch einmal explizit erwähnen?)
>
> [mm](-p^{2}[/mm] - 3p + 10)r = 0 gilt doch für alle p [mm]\in \IR[/mm]
>
> Gehe ich richtig davon aus, dass wenn der Term [mm]-p^{2}[/mm] - 3p
> + 10 = 0 wird, dass die Vektoren dann nicht linear
> unabhängig sind und ich die entsprechenden Lösungen [mm]p_{1}[/mm] =
> 2 und [mm]p_{2}[/mm] = -5 aus p [mm]\in \IR[/mm] rausnehmen muss??
>
> Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar, da ich mir bei der
> korrekten Lösung für p nicht so sicher bin. Danke!!
Also:
Um die lineare (Un-)Abhängigkeit zu beweisen oder wie hier Parameter zu bestimmen so, dass ...,
empfiehlt sich (wenn man sie kennt!)
die Determinantenmethode!
In Deinem Beispiel sind die 3 Vektoren linear abhängig, wenn die Determinante
[mm] \vmat{ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 3p & 0 \\ -5 & -p^{2} & -2 } [/mm] = 0 ist
Also: -24p - [mm] 3p^{2} [/mm] + 15p + 30 = 0
Umgeformt (und durch -3 dividiert):
[mm] p^{2} [/mm] + 3p - 10 = 0.
Daraus erhält man die Lösungen: [mm] p_{1} [/mm] = 2; [mm] p_{2} [/mm] = -5.
Demnach stimmen Deine Werte für p!
Und nun zur Interpretation des Ergebnisses:
Für diese beiden Werte von p sind die 3 Vektoren linear abhängig,
linear UNabhängig sind sie demnach für p [mm] \in \IR \backslash \{2; -5 \}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lolli |
Hi Zwerglein,
Ein ganz großes Dankeschönn für deine schnelle Reaktion !!!
Meine Vermutung zu meinem ersten Ergebnis,dass die Vektoren für p=2 und p=-5 nicht linear unabhängig sind, hat sich also bestätigt.
Sieht so aus, dass es über die Determinantenrechnung viel schneller geht. Hatten wir glaube bei uns aber noch nicht für diesen Sachverhalt angesprochen. Die Determinante haben wir meines Wissens erst später eingeführt. Mal sehen was mein Lehrer dazu sagt.
Schönen Abend noch.
Lolli
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