lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie folgende Systeme von Vektoren des [mm] R^3 [/mm] auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.
a) (1,2,3); (4,5,6); (6,9,12)
b) (1, [mm] \alpha [/mm] ,0); ( [mm] \alpha [/mm] ,1,0); (0, [mm] \alpha [/mm] ,1) in Abhängigkeit des Parameters [mm] \alpha \in [/mm] R. |
Hallo,
zu a) Mein Ergebnis bei dieser Aufgabe ist, dass [mm] \lambda [/mm] 1 und [mm] \lambda [/mm] 2 gleich 0 sind und [mm] \lambda [/mm] 3 frei wählbar. Meine Frage ist nun, ist das System deshalb linear abhängig oder nicht?
zu b) reicht die Fallunterscheidung [mm] \alpha [/mm] =0 und [mm] \alpha \not= [/mm] 0???
Danke
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Hallo superstar
> zu a) Mein Ergebnis bei dieser Aufgabe ist, dass [mm]\lambda[/mm] 1
> und [mm]\lambda[/mm] 2 gleich 0 sind und [mm]\lambda[/mm] 3 frei wählbar.
> Meine Frage ist nun, ist das System deshalb linear abhängig
> oder nicht?
Na, wenn die Rechnung simmt, wähle doch zB [mm] \lambda_3=9
[/mm]
Dann haste doch den Nullvektor linear aus den 3 Vektoren kombiniert und es sind nicht alle Koeffizienten [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 [/mm] =0, also ist das System....
zu b) reicht die Fallunterscheidung [mm]\alpha[/mm] =0 und [mm]\alpha \not=[/mm]
> 0???
Ich denke nicht, wenn du die "normale" LK ansetzt, bekommst du - wenn ich das richtig sehe, beim Auflösen des LGS eine Bedingung für [mm] \alpha [/mm] heraus
Setz einfach mal an und rechne, dann siehste das schon 
> Danke
Jo Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Antwort.
zu a) danke für den Tipp, hat mir sehr weitergeholfen
zu b) ich zeige dir mal meinen Lösungsweg:
I) [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \alpha \lambda_{2} [/mm] +0 [mm] \lambda_{3}=0
[/mm]
II) [mm] \alpha \lambda_{1} +\lambda_{2} [/mm] + [mm] \alpha \lambda_{3} [/mm] =0
III) [mm] \lambda_{3}= [/mm] 0
I) [mm] \lambda_{1} +\alpha \lambda_{2}= [/mm] 0
II) [mm] \alpha \lambda_{1}+ \lambda_{2}+ \alpha [/mm] 0=0
III) [mm] \alpha \lambda_{1} +\lambda_{2}= [/mm] 0
I) [mm] \lambda_{1} [/mm] = - [mm] \alpha \lambda_{2}
[/mm]
in III) eingesetzt [mm] \alpha [/mm] ( - [mm] \alpha \lambda_{2}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] -\alpha [/mm] ^2 [mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{2}= [/mm] 0
[mm] \lambda_{2} [/mm] (1- [mm] \alpha^2)= [/mm] 0
und wie geht es jetzt weiter?
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> Nun, was ist denn los, wenn [mm]1-\alpha^2=0[/mm] ist und was, wenn
> [mm]1-\alpha^2\ne[/mm] 0 ist?
[mm]1-\alpha^2=0[/mm] , dann ist [mm] \lambda [/mm] = 0
und wenn [mm]1-\alpha^2\ne[/mm] 0 , dann ist [mm] \lambda [/mm] auch gleich 0
oder vertue ich mich da??? dann wäre das System in jeden Fall doch lin unabhängig, oder???? LG
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Nää,
Obacht
Wenn [mm] 1-\alpha^2=0 [/mm] ist, also [mm] \alpha=\pm1.
[/mm]
Dann ist [mm] (1-\alpha^2)\cdot{}\lambda_2=0 [/mm] für [mm] \underline{jedes beliebige} \lambda_2 [/mm] ,also auch
insbesondere für [mm] \lambda_2\ne [/mm] 0.
In diesem Falle wären die Vektoren also ....
Wenn aber [mm] \alpha\ne\pm1 [/mm] ist, dann folgt aus [mm] (1-\alpha^2)\lambda_2=0 [/mm] notwendigerweise [mm] \lambda_2=0, [/mm] denn ein Produkt ist Null,....
Also mit [mm] \lambda_2=0\Rightarrow \lambda_1=...
[/mm]
Also ist das System linear.....
Ok?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei a) musst du was falsch gemacht haben WENN [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=0 [/mm] folgt garantiert auch [mm] \lambda_3=0!
[/mm]
ich hab raus [mm] \lambda_1=2\lambda_2 \lambda_3=-\lambda_2, [/mm] d.h. du kannst ein [mm] \lambda [/mm] beliebig wählen, die anderen liegen dann fest. d.h. die Vektoren sind lin. abhängig, aber an deiner Rechng ist was fausl!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 17.05.2007 | | Autor: | superstar |
Vielen Dank für deinen Tipp! Habe jetzt das gleiche wie du raus!!! LG
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