lineare Unabhängigkeit zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 So 10.02.2013 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | Im Raum [mm] \IR^4 [/mm] seien folgende Vektoren gegeben: [mm] a_1=\vektor{0 \\ 0\\ 0\\1}, a_2=\vektor{0 \\ 0\\ 1\\1}, a_3=\vektor{0 \\ 1\\ 1\\1}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo,
Also da die Anzahl der Vektoren kleiner ist als die Anzahl der Dimension, muss man irgendwie eine Zeile der Matrix streichen und dann die Determinante berechnen und zeigen dass diese ungleich Null ist.
Stimmt das so weit? gibt es noch andere Wege?
Und wie streiche ich eine Zeile aus der Matrix?
Gruß
Hejo
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Hallo Hejo,
> Im Raum [mm]\IR^4[/mm] seien folgende Vektoren gegeben:
> [mm]a_1=\vektor{0 \\ 0\\ 0\\1}, a_2=\vektor{0 \\ 0\\ 1\\1}, a_3=\vektor{0 \\ 1\\ 1\\1}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] linear
> unabhängig sind.
>
> Hallo,
>
> Also da die Anzahl der Vektoren kleiner ist als die Anzahl
> der Dimension, muss man irgendwie eine Zeile der Matrix
> streichen und dann die Determinante berechnen und zeigen
> dass diese ungleich Null ist.
>
Das ist ein Weg, der in diesem Fall funktioniert.
> Stimmt das so weit? gibt es noch andere Wege?
Der übliche Weg ist die lineare Unabhängigkeit
mit Hilfe der Gleichung
[mm]\alpha*a_{1}+\beta*a_{2}+\gamma*a_{3}=0, \ \alpha,\beta,\gamma \in \IR, a_{1},a_{2},a_{3},0 \in \IR^{4}[/mm]
zu zeigen.
> Und wie streiche ich eine Zeile aus der Matrix?
>
Immer dieselbe Komponente eines jeden Vektors weglassen.
> Gruß
>
> Hejo
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 10.02.2013 | | Autor: | Hejo |
Danke dir!
> Das ist ein Weg, der in diesem Fall funktioniert.
Wann würde er denn nicht funktionieren?
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Hallo Hejo,
> Danke dir!
>
> > Das ist ein Weg, der in diesem Fall funktioniert.
>
> Wann würde er denn nicht funktionieren?
Z.B. wenn hier die 1.Komponente aller Vektoren von 0 verschieden sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:01 So 10.02.2013 | | Autor: | Hejo |
Jetzt soll ich noch die Projektion p von [mm] a_1 [/mm] in [mm] span\{a_2,a_3\} [/mm] berechnen.
Dazu habe ich folgenden Ansatz gewählt:
[mm] p-a_1\perp a_2 \wedge p-a_1\perp a_3 [/mm] mit [mm] p=\alpha_1a_2 [/mm] + [mm] \alpha_2a_3
[/mm]
Das heißt also:
[mm] \langle \alpha_1*a_2+\alpha_3*a_3-a_1,a_3\rangle=0
[/mm]
[mm] \langle \alpha_1*a_2+\alpha_2*a_3-a_1,a_3\rangle=0
[/mm]
und ausgeklammert:
[mm] \alpha_1*\langle a_2,a_2\rangle+\alpha_2\langle a_3,a_2\rangle -\langle a_1,a_2\rangle=0
[/mm]
[mm] \alpha_1*\langle a_2,a_3\rangle+\alpha_2\langle a_3,a_3\rangle -\langle a_1,a_3\rangle=0
[/mm]
Ist der Ansatz soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Hejo |
> Jetzt soll ich noch die Projektion p von [mm]a_1[/mm] in
> [mm]span\{a_2,a_3\}[/mm] berechnen.
>
> Dazu habe ich folgenden Ansatz gewählt:
> [mm]p-a_1\perp a_2 \wedge p-a_1\perp a_3[/mm] mit [mm]p=\alpha_1a_2[/mm] +
> [mm]\alpha_2a_3[/mm]
>
> Das heißt also:
> [mm]\langle \alpha_1*a_2+\alpha_3*a_3-a_1,a_3\rangle=0[/mm]
>
> [mm]\langle \alpha_1*a_2+\alpha_2*a_3-a_1,a_3\rangle=0[/mm]
>
> und ausgeklammert:
> [mm]\alpha_1*\langle a_2,a_2\rangle+\alpha_2\langle a_3,a_2\rangle -\langle a_1,a_2\rangle=0[/mm]
>
> [mm]\alpha_1*\langle a_2,a_3\rangle+\alpha_2\langle a_3,a_3\rangle -\langle a_1,a_3\rangle=0[/mm]
>
> Ist der Ansatz soweit richtig?
Hier liefert dann der Koeffizientenvergleich leider nichts sinnvolles :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Hejo |
Dann gilt...
[mm] 2\alpha_1+2\alpha_2=1 [/mm] und
[mm] 2\alpha_1+3\alpha_3=1
[/mm]
Daraus folgt dann
[mm] \alpha_1=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \alpha_2=0
[/mm]
also
[mm] p=\alpha_1*a_2=\vektor{0\\0\\0,5\\0,5}
[/mm]
so müsste das dann stimmen denke ich :)
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Hallo,
ich habe auch Dein Ergebnis.
(Du hast es zwar nicht ausdrücklich gesachrieben, aber ich habe mir zusammengereimt, daß es um die orthogonale Projektion von [mm] a_1 [/mm] auf [mm] span(a_2, a_3) [/mm] ging.)
LG Angela
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