lineare abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
| Aufgabe 1 | Die zwei Vektoren a, b [mm] \varepsilon [/mm] V³ seien linear unabhängig.
Sind die Vektoren a+b, a-b, [mm] a\times [/mm] b ebenfalls linear unabhängig?
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| Aufgabe 2 | | Die drei Vektoren a, b,c [mm] \varepsilon [/mm] V³ seien linear unabhängig. Für welche Werte von t sind die Vektoren linear abhängig? Stelle für diese Werte von t den Vektor [mm] \vec{z} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] dar. |
Kann mir bitte jemand helfen. Wenn die Vektoren abhängig wären wärs ja klar aber so weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll. Bei der zweiten komm ich bis irgendwo aber keine Ahnung ob es so geht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 03.03.2006 | | Autor: | statler |
> Die zwei Vektoren a, b [mm]\varepsilon[/mm] V³ seien linear
> unabhängig.
> Sind die Vektoren a+b, a-b, [mm]a\times[/mm] b ebenfalls linear
> unabhängig?
>
> Die drei Vektoren a, b,c [mm]\varepsilon[/mm] V³ seien linear
> unabhängig. Für welche Werte von t sind die Vektoren linear
> abhängig? Stelle für diese Werte von t den Vektor [mm]\vec{z}[/mm]
> als Linearkombination von [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] dar.
Zu Aufg. 1: Ja (ohne Begründung)
Zu Aufg. 2: Ist so nicht vollständig, wo kommt auf einmal das t her?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
| Aufgabe 1 | Die zwei Vektoren a, b [mm] \varepsilon [/mm] V³ seien linear unabhängig.
Sind die Vektoren a+b, a-b, [mm] a\times [/mm] b ebenfalls linear unabhängig?
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| Aufgabe 2 | | Die drei Vektoren a, b,c [mm] \varepsilon [/mm] V³ seien linear unabhängig. Für welche Werte von t sind die Vektoren linear abhängig? Stelle für diese Werte von t den Vektor [mm] \vec{z} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] dar. |
[mm] \vec{x}=2\vec{a} +t\vec{b} +3\vec{c}
[/mm]
[mm] \vec{y}=\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} +2\vec{c}
[/mm]
[mm] \vec{z}=-t\vec{a} [/mm] + [mm] 4\vec{b} -3\vec{c} [/mm] ganz vergessen!!
Kann mir bitte jemand helfen. Wenn die Vektoren abhängig wären wärs ja klar aber so weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
wie kommst du drauf dass sie linear unabhängig sind? ich brauchs leider mit begründung
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Sancho |
wie Statler schon gesagt hat sind die Vektoren linear unabhängig.
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf
[mm] \vec a , \vec b [/mm], ist also auf jeden Fall gegenüber
[mm] (\vec a + \vec b), (\vec a - \vec b) [/mm] linear unabhängig.
Die lineare Unabhängigkeit der beiden restlichen Vektoren erhält man über
nachrechnen:
[mm] a_1, a_2 \in \IR \qquad
0 = a_1 (\vec a + \vec b) + a_2 (\vec a - \vec b)
= (a_1 + a_2) \vec a + (a_1 - a_2) \vec b
[/mm]
Da [mm] \vec a, \vec b [/mm] linear unabhängig folgt
[mm] (a_1 + a_2) = 0 \qquad
(a_1 - a_2 ) = 0 \rightarrow a_1 = a_2 \rightarrow 2 a_2 = 0 \rightarrow
a_1 = 0
[/mm]
also alle linar unabhängig.
bei der 2.Frage fehlt etwas.
Sancho
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
ich verstehe nicht wie du auf [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2})=0 [/mm] und [mm] (a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})=0 [/mm] kommst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo qute!
Gemäß Voraussetzung / Aufgabenstellung sind die beiden Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig. Von daher gibt es lediglich die Triviallösung [mm] $\lambda [/mm] \ = \ [mm] \kappa [/mm] \ = \ 0$ , um die Gleichung (= Linearkombination)
[mm] [center]$\lambda*\vec{a}+\kappa*\vec{b} [/mm] \ = \ 0$[/center]
zu erfüllen.
Genau diese Eigenschaft wird nun angesetzt mit [mm] $\lambda [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2 [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $\kappa [/mm] \ = \ [mm] a_1-a_2 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
ach.... ja klar verstehe! Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 03.03.2006 | | Autor: | qute |
Hat jemand einen Ansatz zu Aufgabe 2, wäre wirklich nett. Ich bin zu einem t= [mm] \pm \wurzel{-31}/7 [/mm] gekommen oder so ähnlich. Hab die Lösung grad nicht hier. Auf jeden Fall irgendwas mit [mm] \pm \wurzel{31}/7
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Sancho |
Hi qute, ok ich poste hier mal einen Lösungsvorschlag zur 2. Aufgabe:
Ich schreibe die Vektoren y,x,z in eine 3x3-Matrix A und bringe diese auf
Zeilenstufenform. In den Zeilen stehen y,x,z in irgendeiner Reihenfolge (ist
egal)
Ist der Rang der Matrix rk(A) =3, also voll so sind die
vektoren linear unabhängig, ist der Rank kleiner als 3 so sind die vektoren linear abhängig. Es sind also die t gesucht, für die der Rang von A kleiner als 3
ist.
[mm] \begin{pmatrix}
2 & t & 3 \\
1 & -1 & 2\\
-t & 4 & -3
\end{pmatrix}
[/mm]
Addiere nun das (-3/2)-fache der 2-ten Zeile auf die Erste, anschließend das
(3/2)-fache der 2-ten Zeile auf die dritte Zeile addieren, liefert
[mm] \begin{pmatrix}
1/2 & t + 3/2 & 0 \\
1 & -1 & 2\\
3/2-t & 5/2 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun wird das (-2)-fache der 1. Zeile auf die 2. Zeile addiert, danach das
(2(t - 3/2))-fache der 1.Zeile auf die 3- Zeile.
[mm] \begin{pmatrix}
1/2 & t + 3/2 & 0 \\
0 & -2t -3 & 2\\
0 & t^2- 9/4 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
3. Zeile: t= +3/2, -3/2
für diese t hat die Matrix eine Nullzeile, also sind die Vektoren linear abhängig.
Möglicherweise ist meine Rechnung nicht ganz korrekt, musste es ja auch von
hand rechnen.
Das war also umforment mit dem Gauß-Algorithmus, dieser liefert eine
Basis des Spans von x,y,z, also maximal 3 linear unabhängig Vektoren.
Hat die Basis die Länge 2(rk(a) = 2), so waren nur zwei der Vektoren x,y,z
linear unabhängig.
Hoffe ich konnte dir auch verständlich helfen.
Gruß Sancho
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 06.03.2006 | | Autor: | qute |
Hi Sancho!
Vielen Dank für deine Hilfe. Dank deinem Tip bei der ersten Aufgabe konnte ich die 2. selbst lösen. Bei mir kam allerdings [mm] t=\pm1 [/mm] raus. Ich hab da auch gleich den Fehler bei dir gefunden. Bei der dritten Matrix in der 2.Zeile muss -2t-4 stehen. Nochmals Danke du hast mir echt sehr geholfen...
ciao
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