lineare approximation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Do 25.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, wir haben in der vorlesund damals eine äquvialenten satz zu der def. der differenzierbarkeit gehbt und zwar:
Sei [mm] V\cap\IR [/mm] und [mm] a\in [/mm] V ein Häufungspunkt von V. Eine Funktion [mm] f:V\to\IR [/mm] ist genau dann im Punkt a diffbar, wenn es eine konstante c gibt, so dass
[mm] f(x)=f(a)+c*(x-a)+\phi(x) (x\in [/mm] V)
wobei [mm] \phi [/mm] eine Fkt. ist, für die gilt:
[mm] \lim_{x\to a, x\not= a} \bruch{\phi(x)}{x-a}=0
[/mm]
In diesem Fall ist c=f'(a)
irgendwie verstehe ich das ganze nicht so wirklich.
angenommen man hat nur diesen teil der fkt:
f(x)=f(a)+c*(x-a)
dann wäre meine meinung nach c die steigung im punkt a, also f'(a)
und die fkt würde die tagente an dem punkten beschreiben. was genau aber ist jetzt dieses [mm] \phi [/mm] und warum muss es [mm] \phi [/mm] geben, damit c=f'(a) ist.
kann mir das vielleicht bitte mal jemand erklären, das wäre echt nett.
Gruß und danke.. ARI
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Do 25.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Ari,
ich will mal versuchen, das etwas klarer zu machen:
> Sei [mm]V\cap\IR[/mm] und [mm]a\in[/mm] V ein Häufungspunkt von V. Eine
> Funktion [mm]f:V\to\IR[/mm] ist genau dann im Punkt a diffbar, wenn
> es eine konstante c gibt, so dass
>
> [mm]f(x)=f(a)+c*(x-a)+\phi(x) (x\in[/mm] V)
>
> wobei [mm]\phi[/mm] eine Fkt. ist, für die gilt:
>
> [mm]\lim_{x\to a, x\not= a} \bruch{\phi(x)}{x-a}=0[/mm]
>
> In diesem Fall ist c=f'(a)
>
>
>
> irgendwie verstehe ich das ganze nicht so wirklich.
>
> angenommen man hat nur diesen teil der fkt:
>
> f(x)=f(a)+c*(x-a)
>
> dann wäre meine meinung nach c die steigung im punkt a,
> also f'(a)
>
> und die fkt würde die tagente an dem punkten beschreiben.
Genau das!
> was genau aber ist jetzt dieses [mm]\phi[/mm] und warum muss es [mm]\phi[/mm]
> geben, damit c=f'(a) ist.
DerPunkt ist nicht, dass es irgend ein [mm] \phi(x) [/mm] geben muss ( das gäb es nämlich immer), sondern dass dieses [mm] \phi [/mm] bei Annäherung an a "schnell genug" (d.h. schneller als linear) gegen 0 geht.
Das [mm] \phi [/mm] beschreibt ja gerade die Abweichung der Tangente vom tatsächlichen Verlauf von f, und die Forderung ist, dass diese in der Nähe von a nicht zu groß werden darf.
Um den Zusammenhang mit der Ableitung nochmal deutlich zu machen versuchen wir doch mal, den Differentialquotienten von f in a auszurechenen (wahrscheinlich ging auch der Beweis in etwa so...):
[mm]\limes_{x \to a} \bruch{f(x) - f(a)}{x-a} =
\limes_{x \to a} \bruch{f(a) + c(x-a) + \phi(x)}{x-a} =
\limes_{x \to a} \bruch{c(x-a) +\phi(x)}{x-a} =
\limes_{x \to a} c + \bruch{\phi(x)}{x-a}
[/mm]
Wenn jetzt also [mm]\limes_{x \to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}[/mm] existiert, dann existiert auch die Ableitung von f an der Stelle a. Finde ich kein [mm] \phi [/mm] so dass der Grenzwert existiert, dann existiert auch der Differentialquotient nicht, d.h. f ist nicht differenzierbar.
Im Fall eines endlichen Grenzwerts von [mm] \bruch{\phi(x)}{x-a} [/mm] kann ich [mm] \phi [/mm] aber auch immer so abändern, dass dieser Grenzwert = 0 ist und dann ist der Differentialquotient offensichtlich gleich c.
Ich hoffe das hat etwas geholfen.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 25.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo es ist schon etwas klarer geworden. einige sachen jedoch leider nicht und zwar:
das [mm] \phi [/mm] ist doch wie du schon gesagt hast, sozusagen die differenz der funktion mit der tangente. dann gibt es doch soszusagen nur ein [mm] \phi [/mm] welches die bedingung erfüllt oder nicht und zwar das [mm] \phi [/mm] , welches addiert mit der tangente gerade f ergibt und nicht alle [mm] \phi [/mm] für die gilt [mm] \lim_{x\to a, x\not= a} {\phi(x)}{x-a}=0 [/mm] oder?
und wenn man dann dieses [mm] \phi [/mm] hat und möchte, dass es in der nähe von a ganz klein wird, warum sagt man dann rein geometrisch gesehen nicht [mm] \lim_{x\to a} \phi(x)=0 [/mm] muss erfüllt sein, sonder [mm] \lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=0 [/mm] muss erfüllt sein?
ich meine rein geometrisch gesehen würden nur diese sachen zutreffen.
danke und gruß ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
> das [mm]\phi[/mm] ist doch wie du schon gesagt hast, sozusagen die
> differenz der funktion mit der tangente. dann gibt es doch
> soszusagen nur ein [mm]\phi[/mm] welches die bedingung erfüllt oder
> nicht und zwar das [mm]\phi[/mm] , welches addiert mit der tangente
> gerade f ergibt und nicht alle [mm]\phi[/mm] für die gilt [mm]\lim_{x\to a, x\not= a} {\phi(x)}{x-a}=0[/mm]
> oder?
richtig, aber in dem Satz steht doch nichts von vielen [mm] \Phi! [/mm]
> und wenn man dann dieses [mm]\phi[/mm] hat und möchte, dass es in
> der nähe von a ganz klein wird, warum sagt man dann rein
> geometrisch gesehen nicht [mm]\lim_{x\to a} \phi(x)=0[/mm] muss
> erfüllt sein, sonder [mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=0[/mm]
> muss erfüllt sein?
Wenn du piet's Beweis ansiehst, dann reicht doch nur [mm] \Phi(x) [/mm] gegen 0 nicht, sondern du brauchst [mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=0[/mm], natürlich geht das nicht, wenn [mm] \Phi(x) [/mm] zu schlecht gegen 0 geht!
> ich meine rein geometrisch gesehen würden nur diese sachen
> zutreffen.
Was heisst "rein geometrisch gesehen", da siehst du dass [mm] \Phi [/mm] gegen 0 geht, mehr nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 25.05.2006 | | Autor: | AriR |
in dem satz im forster zB steht nur, dass es so ein c geben muss und das man sich irgendein [mm] \phi [/mm] aussuchen kann, für das nur gelten muss [mm] \lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{(x-a)}=0
[/mm]
da kann man sich doch irgendein [mm] \phi [/mm] aussuchen, nur wer sagt, das dieses [mm] \phi [/mm] die Tangente in dem pkt. a zu f(x) ergänzt?
und wo dieses (x-a) von [mm] \lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{(x-a)}=0 [/mm] herkommt, weiß ich leider auch nicht.
[mm] \phi(x) [/mm] ist doch abstand der tangente von der funktion oder?
wenn man dann durch (x-a) teil und den grenzwert betrachtet, sieht das aus wie die betrachtung des differentialquoeffizienten, also sieht aus wie eine sekantensteigung, wo man den einen pkt gegen den andern laufe lässt, nur das man halt, wenn man [mm] \phi [/mm] betrachtet, das f(x)-f(a), was anstatt [mm] \phi [/mm] normal im zähler steht nur bis maximal zur tangente in den pkt a geht. ich hoffe ihr wisst was ich meine (also anstatt den abstand zwischen f(x) und f(a) betrachtet man den abstand zwischen f(x) und g(x) wenn g(x) die tangente in dem pkt a ist)
hoffe ihr helft mir nochmal weiter.. danke und gruß ARI
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Hallo AriR,
> in dem satz im forster zB steht nur, dass es so ein c geben
> muss und das man sich irgendein [mm]\phi[/mm] aussuchen kann, für
> das nur gelten muss [mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{(x-a)}=0[/mm]
Da steht nicht das es mehr als eins geben muß oder? Das ist mathematische Zurückhaltung warum soll man etwas behaupten was man nicht braucht?
> da kann man sich doch irgendein [mm]\phi[/mm] aussuchen, nur wer
> sagt, das dieses [mm]\phi[/mm] die Tangente in dem pkt. a zu f(x)
> ergänzt?
[mm] f(x)-\phi(x) [/mm] muß eine lineare Funktion sein die im Punkt a den Wert f(a) annimmt eine nicht unwesentliche Nebenbedingung beim "raussuchen". Es gilt:
[mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{(x-a)}=0[/mm] Was auch bedeutet [mm] \phi'(a)=0
[/mm]
Jetzt leite man [mm] f(x)-\phi(x)=f(a)-c*(x-a) [/mm] an der Stelle a 1 mal ab. Was kommt für c raus?
Da siehst Du auch wenn Du ein allgemein irgendwie gg. 0 gehendes [mm] \phi [/mm] nimmst muß da nicht die Ableitung von f für c rauskommen.
> wenn man dann durch (x-a) teil und den grenzwert
> betrachtet, sieht das aus wie die betrachtung des
> differentialquoeffizienten, also sieht aus wie eine
> sekantensteigung, wo man den einen pkt gegen den andern
> laufe lässt, nur das man halt, wenn man [mm]\phi[/mm] betrachtet,
> das f(x)-f(a), was anstatt [mm]\phi[/mm] normal im zähler steht nur
> bis maximal zur tangente in den pkt a geht. ich hoffe ihr
> wisst was ich meine (also anstatt den abstand zwischen f(x)
> und f(a) betrachtet man den abstand zwischen f(x) und g(x)
> wenn g(x) die tangente in dem pkt a ist)
Ich hoffe das klärt sich mit dem was ich oben geschrieben habe denn ich versteh's nicht ganz. Falls es sich nicht geklärt hat schreib's doch nochmal mit Formeln hin.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 29.05.2006 | | Autor: | AriR |
noch eine kleine frage bitte und zwar:
angenommen: es besteht für eine fkt f die darst:
[mm] f(x)=f(a)+c(x-a)+\phi(x) [/mm] mit [mm] \lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=y ,y\in\IR
[/mm]
Dann ist ja [mm] \lim_{x\to a}(\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}-c)=\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=y
[/mm]
also
[mm] \lim_{x\to a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=y*c
[/mm]
und die ableitung an der stelle a wäre demnach doch y*c oder?
also wenn man als grenzwert von [mm] \lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a} [/mm] nicht 0 rausbekommt sondern eine beliebigen wert, dann könnte man die ableitung an der stelle a doch auch so rausbekommen oder?
danke und gruß ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> noch eine kleine frage bitte und zwar:
>
> angenommen: es besteht für eine fkt f die darst:
>
> [mm]f(x)=f(a)+c(x-a)+\phi(x)[/mm] mit [mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=y ,y\in\IR[/mm]
>
> Dann ist ja [mm]\lim_{x\to a}(\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}-c)=\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}=y[/mm]
>
> also
>
> [mm]\lim_{x\to a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=y*c[/mm]
Da steckt ein kleiner Fehler drin, auf der rechten Seite muss es [mm]y\boldsymbol{+}c[/mm] heißen.
>
> und die ableitung an der stelle a wäre demnach doch y*c
> oder?
Genau!
>
> also wenn man als grenzwert von [mm]\lim_{x\to a}\bruch{\phi(x)}{x-a}[/mm]
> nicht 0 rausbekommt sondern eine beliebigen wert, dann
> könnte man die ableitung an der stelle a doch auch so
> rausbekommen oder?
Ja, oder man setzt [mm]\tilde{\phi}(x) = \phi(x)-y*(x-a)[/mm] und hat dann ein [mm] \phi, [/mm] bei dem der Grenzwert 0 ergibt 
>
> danke und gruß ari :)
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mo 29.05.2006 | | Autor: | AriR |
so nach ner woche hab ichs langsam +g+
danke an euhc alle
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