lineare hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Bilden Sie die linearen Hüllen folgender im [mm] R^2 [/mm] bzw. [mm] R^3 [/mm] gegebenen Familien und geben Sie jeweils eine maximal linear unabhängige Teilfamilie an.
[mm] M_3= (\vektor{x \\ 1} [/mm] | x [mm] \in R^2) [/mm] |
Also, die Basis ist ja [mm] (\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1})
[/mm]
Und nun soll die lineare Hülle [mm] R^2 [/mm] sein, aber wie kann das sein, wenn y immer 1 ist?
Und kann man die lineare Hülle auch als [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0} [/mm] darstellen?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:33 Mi 18.03.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo Thomas,
ich muss zugeben, dass ich hier auch so meine Schwierigkeiten habe - mit dem Verständnis der Aufgabenstellung.
> Bilden Sie die linearen Hüllen folgender im [mm]R^2[/mm] bzw. [mm]R^3[/mm]
> gegebenen Familien und geben Sie jeweils eine maximal
> linear unabhängige Teilfamilie an.
Das war jetzt sicher die Aufgabenstellung
und nun folgt eine Teilaufgabe (Es hat also auch schon [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] gegeben!? Zumindest interpretiere ich das so):
> [mm]M_3= (\vektor{x \\ 1}[/mm] | x [mm]\in \R^2)[/mm]
> Also, die Basis ist ja
> [mm](\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1})[/mm]
Eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist [mm] (\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}). [/mm] Das stimmt.
Aber ist das hier relevant?
[mm] M_3 [/mm] ist die Menge aller Vektoren [mm] \vektor{x \\ 1} [/mm] mit [mm] x\in\IR^2.
[/mm]
Also können wir sagen [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2}\in\IR^2 [/mm] und somit [mm] M_3= \{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ 1}|\vektor{x_1 \\ x_2} \in \IR^2\}
[/mm]
Nimmst du jetzt [mm] z_1=\vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{1 \\ 0}\in\IR^2, [/mm] so ist [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 1}\in{M_3}.
[/mm]
Nimmst du [mm] z_2=\vektor{0 \\ 1}\in\IR^2, [/mm] so ist [mm] \vektor{0\\ 1 \\ 1}\in{M_3}.
[/mm]
Nimmst du jetzt noch [mm] z_3=\vektor{1 \\ 1}, [/mm] so ist [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 1}\in{M_3}.
[/mm]
Die Vektoren [mm] \{\vektor{1\\ 0 \\ 1},\vektor{0\\ 1 \\ 1},\vektor{1\\ 1 \\ 1}\} [/mm] sind ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] und zudem linear unabhängig. Bilden somit eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter. Wenn ich mich vertan haben sollte, was das Verständnis der Aufgabe betrifft, melde dich.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Also ich hatte die Aufgabe ja schon einmal abgegeben und die richtige Antwort war als Linearhülle eben [mm] R^2. [/mm] Mit [mm] R^3 [/mm] war da eigentlich nichts, ich frag mich eben nur, wie das den gesamten [mm] R^2 [/mm] erzeugen kann, wenn die zweite Zahl im Vektor immer 1 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine Korrektur von barschs post
Gruss leduart
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:31 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Barsch
die 3 angegebenen Vektoren sind zwar ein Erzeugendensystem dees gesuchten Raums, aber keines von [mm] R^3. [/mm] man sieht direkt, dass die Summe der 2 ersten den dritten ergibt.
also hat man eine 2 dimensionale Untermenge des [mm] R^3, [/mm] allerdings keinen UVR von [mm] R^3 [/mm] da die 0 nicht enthalten ist.
Man hat einen 2d. VR, der anschaulich die Ebene z=1 im [mm] R^3 [/mm] darstellt. Das ist ein [mm] R^2 [/mm] (wie jede andere Ebene im [mm] R^3)
[/mm]
eine moegliche Basis ist dann wirklich
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1}und \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Gruss leduart
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> die 3 angegebenen Vektoren sind zwar ein Erzeugendensystem
> dees gesuchten Raums, aber keines von [mm]R^3.[/mm]
Hallo,
doch, barschs Vektoren sind linear unabhängig und somit eine Basis des [mm] \IR³. [/mm] Damit ist der erzeugte Raum der [mm] \IR^3, [/mm] wie barsch sagte.
> man sieht
> direkt, dass die Summe der 2 ersten den dritten ergibt.
Für die ersten beiden der drei Komponenten gilt das.
> also hat man eine 2 dimensionale Untermenge des [mm]R^3,[/mm]
> allerdings keinen UVR von [mm]R^3[/mm] da die 0 nicht enthalten
> ist.
Es geht in der Fragestellung nicht um die VR-Eigenschaft der Menge [mm] M_3, [/mm] sondern um den Raum, der von [mm] M_3 [/mm] erzeugt wird.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Ich denke, jetzt habe ich es ein wenig verstanden. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Do 19.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich lass mich belehren, finde aber die Aufgabenstellung nicht eindeutig.
Auslegung 1) bilde die lineare Huelle aller Vektoren
[mm] \vektor{x \\ y \\ 1}
[/mm]
Darin liegt natuerlich auch etwa der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 2}
[/mm]
Auslegung 2) betrachte alle Vektoren mit der letzten Komponente 1. das waere ein affiner Unterraum von [mm] R^3 [/mm] und damit ein [mm] R^2
[/mm]
Offensichtlich ist die Mehrhet fuer Interpretation 2.
Ausserdem war aber mein Kommentar dass die 3 von barsch angegebenen Vektoren lin abhaengig sind kompletter Unsinn, dafuer Enschuldigung!
Gruss leduart
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> Hallo
> ich lass mich belehren, finde aber die Aufgabenstellung
> nicht eindeutig.
> Auslegung 1) bilde die lineare Huelle aller Vektoren
> [mm]\vektor{x \\ y \\ 1}[/mm]
> Darin liegt natuerlich auch etwa der
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 2}[/mm]
> Auslegung 2) betrachte alle
> Vektoren mit der letzten Komponente 1. das waere ein
> affiner Unterraum von [mm]R^3[/mm] und damit ein [mm]R^2[/mm]
> Offensichtlich ist die Mehrhet fuer Interpretation 2.
Hallo,
also ich habe mich für die "Auslegung 1" entschieden, da in der Aufgabe steht, daß man die lineare Hülle betrachten soll...
Gruß v. Angela
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