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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Di 28.03.2006 | | Autor: | t4z |
| Aufgabe | | ergibt [mm] \lambda*X=Y [/mm] mit X~N(0,1) ein Y~N(0,lambda) ? |
ich möchte gern zeigen, dass eine mit lambda multiplizierte normalverteilte (0,1) zufallsvariable genau eine normalverteilte (0,lambda) verteilte zufallsvariable ergibt
mit excel konnte ich dies exakt nachvollziehen, indem ich mir alle quantile der N(0,1)-verteilung in 1/10 (w'keit von 0 bis 1) schritten ausgegeben habe, diese habe ich dann jeweils mit lambda multipliziert. diese werte verglich ich dann mit den quantilen einer N(0,lambda)-verteilten variablen. es sind exakt dieselben quantile für die jeweiligen w'keiten, nur fehlt mir jetzt der treffende beweis
wikipedia sagt irgendwie, dass lambda*X+b=Y mit X~N(0,1) einem [mm] Y~N(b,lambda^2) [/mm] entspricht, dass scheint aber irgendwie nicht zu stimmen, sonst hätte ich das doch bereits in excel bemerken müssen, oder habe ich in excel einen fehler gemacht ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zusammen,
es ist ja für einereellwertige Zufallsvariable X die Verteilung [mm] F_X [/mm] definiert als
[mm] F_X(x)\:\: :=\:\: Pr\{X\leq x\}
[/mm]
Nun ist die Normalverteilung die Funktion
[mm] N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}{2}y^2}\: [/mm] dy
Für [mm] Y(x):=\lambda\cdot [/mm] X(x) mit [mm] \lambda [/mm] >0$ ist ja
[mm] F_Y(x)=\: Pr\{Y\leq x\}\: [/mm] = [mm] Pr\{X\leq\lambda\cdot x\}\: =\: F_X(x\slash \lambda)
[/mm]
Wenn X normalverteilt ist, d.h. [mm] F_X(x)=N(x), [/mm] so ist also dann
[mm] F_Y(x)=N\left (\frac{x}{\lambda}\right )\: =\: \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{x\slash\lambda}e^{-\frac{1}{2}y^2}\: [/mm] dy
Nun sollte man doch via Substitution
[mm] \int_a^bf(g(x)\cdot g'(x)\: dx\:\: =\:\: \int_{g(a)}^{g(b)}f(z)dz
[/mm]
mit g(x) [mm] =\frac{x}{\lambda} [/mm] das Integral umschreiben können:
[mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{x\slash\lambda}e^{-\frac{1}{2}y^2}\: [/mm] dy = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}(y\slash\lambda)^2}\cdot\frac{1}{\lambda}
[/mm]
Vielleicht hilft's ja schon mal ein Stück weiter....
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 29.03.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
also den Beweis kann ich jetzt aus dem stegreif nicht, aber es gibt ein Gesetz, dass bei:
[mm]Y\ =\ \lambda X+b\ \ \Rightarrow\ E(Y)=\lambda*X+b\ und\ \ VAR(Y)=\lambda^2*VAR(X)[/mm]
Da ja nun bei der Normalverteilung der erste Wert der Erwartungswert und der zweite die Varianz:
[mm]X\sim N(0,1)\Rightarrow \lambda*X \sim N(\lambda*0, \lambda^2*1)=N(0,\lambda^2)[/mm]
Also hast dich in Excel auf jeden Fall verrechnet.
Hast du die allgemeine Normalvereilung genommen oder die Standardnormalverteilung?
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Mi 29.03.2006 | | Autor: | metzga |
jetzt ists mir wieder eingefallen:
zuerst muss man wissen, dass:
Wenn Y=g(X) wieder eine Zufallsvariable ist, so kann man den Erwartungswert von Y wie folgt berechnen:
[mm]E(Y)=\int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx[/mm] und [mm]E(Y)=\sum_{i} g(x_i) \cdot p_i[/mm]
[mm]mit\ Y=aX+b \rightarrow\ E(Y)=\int_{-\infty}^\infty (aX+b) f(x)dx=a*\int_{-\infty}^\infty X f(x)dx+b*\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=a*E(X)+b[/mm]
und nun im diskreten Fall:
[mm]E(Y)=E(aX+b)=\sum_{i} (aX+b) \cdot p_i=\sum_{i} aX \cdot p_i+\sum_{i} b \cdot p_i=
=a*\sum_{i} X \cdot p_i+b*\sum_{i} \cdot p_i=a*E(X)+b[/mm]
Damit und dem Verschiebungssatz: [mm]VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm]
VAR(Y)=VAR(aX+b)=E((aX+b)²)-E(aX+b)²=
=E(a²X²+2abX+b²)-(aE(X)+b)²=E(a²X²)+E(2abX)+E(b²)-[a²E(X)²+abE(X)+b²]=
=a²E(X²)+2abE(X)+b²-[a²E(X)²+2abE(X)+b²]=a²E(X²)-a²E(X)²=a²(E(X²)-E(X)²)=
=a²VAR(X)
␟
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo t4z
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> mit excel konnte ich dies exakt nachvollziehen, indem ich
> mir alle quantile der N(0,1)-verteilung in 1/10 (w'keit von
> 0 bis 1) schritten ausgegeben habe, diese habe ich dann
> jeweils mit lambda multipliziert.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Den Sinn dieses Vorgehens verstehe ich nicht....
Nun ja.
> diese werte verglich ich
> dann mit den quantilen einer N(0,lambda)-verteilten
> variablen. es sind exakt dieselben quantile für die
> jeweiligen w'keiten, nur fehlt mir jetzt der treffende
> beweis
>
> wikipedia sagt irgendwie, dass lambda*X+b=Y mit X~N(0,1)
> einem [mm]Y~N(b,lambda^2)[/mm] entspricht, dass scheint aber
> irgendwie nicht zu stimmen, sonst hätte ich das doch
> bereits in excel bemerken müssen, oder habe ich in excel
> einen fehler gemacht ?
Kann es vielleicht sein, dass das ein Notationsproblem ist?
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gibt eine normalverteilte Zufallsvariable in der Noation
[mm]\mathcal{N}(\mu,\red{\sigma^2})[/mm] an, d.h. der zweite Eintrag gibt dir die Varianz.
Manchmal gebräuchlich ist die Notation [mm]\mathcal{N}(\mu,\red{\sigma})[/mm], d.h. der zweite Eintrag gibt die Standardabweichung. Auch bei Berechnungen mit Excel muss man die Standardabweichung angeben.
Bei der (üblicheren) Notation [mm]\mathcal{N}(\mu,\red{\sigma^2})[/mm] gilt natürlich
[mm]\lambda X \sim \mathcal{N}(0,\red{\lambda^2})[/mm].
Wenn man die Notation [mm]\mathcal{N}(\mu,\red{\sigma})[/mm] nutzt, dann gilt:
[mm]\lambda X \sim \mathcal{N}(0,\red{\lambda})[/mm].
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mi 29.03.2006 | | Autor: | t4z |
hallo astrid,
du hast natürlich recht. ich verwechselte bei N(0,1) die Varianz mit der Standardabweichung.
reicht es nun aus, zu sagen, dass
[mm] Y\simN(0,\lambda^2) \gdw Y=\lambda*X [/mm] mit [mm] X\sim(0,1)
[/mm]
auf genau welchen satz (beweis) kann ich mich da beziehen, mir ist es mittlerweile klar, nur bin ich im formulieren und beweisen nicht gerade so gut
vielleicht ist es jedoch gar nicht nötig, diesen sachverhalt zu beweisen !?
was würdet ihr dazu sagen, wenn diese aussage teil einer wissenschaftlichen ausarbeitung ist !?
danke an alle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo t4z,
> hallo astrid,
>
> du hast natürlich recht. ich verwechselte bei N(0,1) die
> Varianz mit der Standardabweichung.
>
> reicht es nun aus, zu sagen, dass
>
> [mm]Y\simN(0,\lambda^2) \gdw Y=\lambda*X[/mm] mit [mm]X\sim(0,1)[/mm]
>
> auf genau welchen satz (beweis) kann ich mich da beziehen,
> mir ist es mittlerweile klar, nur bin ich im formulieren
> und beweisen nicht gerade so gut
> vielleicht ist es jedoch gar nicht nötig, diesen
> sachverhalt zu beweisen !?
> was würdet ihr dazu sagen, wenn diese aussage teil einer
> wissenschaftlichen ausarbeitung ist !?
Die Aussage ist ein allgemein bekannter Fakt, ein Spezialfall der Aussage:
Falls [mm]X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm], dann ist [mm]aX+b \sim \mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)[/mm]. Den Beweis findest du in jedem Standardbuch zur Einführung in die Statistik oder Stochastik. Mathias hat dir den Beweis schon so gut wie aufgeschrieben.
Viele Grüße
Astrid
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