lineare un/abhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie (mit Beweis) an, ob die folgende Menge im Vektorraum über dem Körper linear abhängig oder unabhängig ist:
[mm] \{ \vektor{123 \\ \bruch{3}{4}}, \vektor{ cos( \bruch{1}{3} ) \\ sin( \bruch{7}{13} ) } , \vektor{ \wurzel{17} \\ - \bruch{50}{49} }, \vektor{ \pi \\ \bruch{3 \pi}{177} } \} \subset \IR^{2} [/mm] über [mm] \IR [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=476960&hilightuser=40100
Ich komme hier einfach nicht weiter.
Muss ich hier wirklich ein LGS aufstellen und versuchen das zu lösen, oder geht das einfacher?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt:
Ist V ein Vektorraum über K und dimV=n, so sind n+k Vektoren (k [mm] \ge [/mm] 1) stets linear abhängig.
FRED
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Ja, das habe ich auch schon gelesen, jedoch hat mich das "über [mm] \IR [/mm] " irritiert.
Ich hatte nämlich folgenden Beweis dazu:
Angenommen [mm] \{a,b,c\} \in \IR^{2} [/mm] wären linear unabhängig, dann wäre [mm] \{a,b\} [/mm] ebenfalls linear unabhängig, und somit Basis von [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Somit wäre aber c als linearkombination von a und b darstellen, somit wäre {a,b,c} aber linear Abhängig. Widerspruch, daher muss {a,b,c} linear abhängig sein.
Jedoch ist ja die Lineare Abhängigkeit über [mm] \IR [/mm] zu zeigen und nicht über [mm] \IR^{2}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
VR über R heisst dass die Koeffizienten aus R sind. das ist also dein ganz normaler [mm] \IR^2.
[/mm]
wahrscheinlich sollst du dir 2 in unabh. raussuchen, oder ist das die ganze Aufgabe?
gruss leduart
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Das ist schon die ganze Aufgabe.
Ich soll lediglich zeigen, ob lin. abh. oder lin. unabh.
Also wäre der Beweis richtig?
Es spielt also keine Rolle, ob die Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] oder aus [mm] \IR^{2} [/mm] sind, für diesen Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Koeffizienten sind immer aus einem körper, nicht aus einem VR. es gibt keinen [mm] \IR^2 [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] \IR^2
[/mm]
Koeffizeinten sind immer aus einem zahlenkörper, im anfang, fast immer aus [mm] \IR [/mm] später auch mal komplex oder aus nem anderen Körper, aber sicher keine Vektoren.
dein Beweis ist richtig, falls ihr bewiesen habt, dass in [mm] \IR^2 [/mm] 2 linear unabh Vektoren alle anderen erzeugen können.
sonst musst du 2 aus der Sammlung nehmen und daraus die 2 anderen erzeugen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mo 12.12.2011 | | Autor: | DudiPupan |
Okay, ja, das war ein blöder Denkfehler von mir :)
Vielen Dank für die Antwort, hat mir sehr weitergeholfen!
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