lineare unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 30.04.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | A:E [mm] \to [/mm] F sei eine lineare Abbildung.
Zeige:
Ist A injektiv und [mm] {\{x_{l}; l \in L}\} \subset [/mm] E linear unabhängig, so ist auch [mm] \{Ax_{l}; l \in L\} [/mm] linear unabhängig |
guten abend!!
ich habe bei dieser aufgabe irgendwie ein problem.
ich hab mir das so gedacht:
[mm] \{x_{l}; l \in L\} [/mm] ist linear unabhängig, das heißt ja, das [mm] \summe_{l=1}^{n} c_{l}x_{l}= [/mm] 0 ist, wobei die [mm] c_{l} [/mm] alle gleich 0 sind.
wenn das gilt, dann gilt doch auch
A [mm] \summe_{l=1}^{n} c_{l}x_{l}= [/mm] 0
und das ist ja dasselbe wie
[mm] \summe_{l=1}^{n} c_{l}Ax_{l}= [/mm] 0
und da ja alle [mm] c_{l}=0 [/mm] sind ist somit auch [mm] \{Ax_{l}; l\in L\} [/mm] linear unabhängig.
Für was aber brauche ich dann dass A injektiv ist??
oder hab ich hier einen denkfehler??
vielen dank schon mal für eure tipps und anregungen!
lg spektrum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du musst das so machen:
Zu zeigen ist [mm] ja:\summe_{l}c_{l}Ax_{l}=0 [/mm] impliziert [mm] c_{l}=0.
[/mm]
[mm] Also:\summe_{l}c_{l}Ax_{l}=A(\summe_{l}c_{l}x_{l})=0
[/mm]
A injektiv impliziert [mm] ker(A)=0=\summe_{l}c_{l}Ax_{l}
[/mm]
Da [mm] x_{l} [/mm] linear unabhängig sind, folgt [mm] c_{l}=0 [/mm] und die Behauptung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mo 30.04.2007 | | Autor: | spektrum |
vielen vielen dank für deine schnelle antwort!!
das hat mir wirklich sehr geholfen!!
lg spektrum
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