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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 04.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Hallo,
folgende Aufgabe glaube ich eigentlich schon gelöst zu haben. Ich möchte mich einfach nochmal vergewissern.
Aufgabe: Gegeben ist eine periodische Fkt aus Parabelbögen.
a) Wie heißt die Fkt im Interval [0,2] und [6,8] ?
b) Berechnen Sie den linearen Mittelwert von f(x) in einem Intervall daß beliebig viele Perioden umfaßt.
( In der Aufgabenstellung ist jetzt eine Skizze eingetragen die hier nicht darstellen kann. Die Parabelbögen haben aber folgende Punkte, z.b im ersten Intervall [0,2]: P0(0,2) P1(2,2), S(1,1) .
Die Gleichung lautet : [mm] y=(x-1)^2+1. [/mm] f(x) ist also aus diesen Bögen aufgebaut.)
Es handelt sich doch hier um ein uneigentliches Integral. Ich könnte doch lautr Aufgabenstelung die Grenzen von 0 - [mm] \infty [/mm] oder von - [mm] \infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] wählen ? Folglich ist der Graph ist divergent und deshlab ist der Mittelwert ebenfalls [mm] \infty. [/mm]
Richtig ?!?
Gruß
Raumzeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Di 04.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo raumzeit!
> Aufgabe: Gegeben ist eine periodische Fkt aus
> Parabelbögen.
> a) Wie heißt die Fkt im Interval [0,2] und [6,8] ?
> b) Berechnen Sie den linearen Mittelwert von f(x) in einem
> Intervall daß beliebig viele Perioden umfaßt.
>
> ( In der Aufgabenstellung ist jetzt eine Skizze eingetragen
> die hier nicht darstellen kann. Die Parabelbögen haben aber
> folgende Punkte, z.b im ersten Intervall [0,2]: P0(0,2)
> P1(2,2), S(1,1) .
> Die Gleichung lautet : [mm]y=(x-1)^2+1.[/mm] f(x) ist also aus
> diesen Bögen aufgebaut.)
Wie sieht denn diese Skizze nun aus?
Handelt es sich um eine (optisch) ähnliche Funktion wie die sin-Funktion (also periodisch abwechselnd "Berg" und "Tal")?
Oder wiederholt sich die Periode in der Art, daß an den Periodensprüngen Knickpunkte entstehen, weil wieder eine Parabel "eingehangen" wird?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 04.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Hallo loddar,
es handelt sich um deine letztere Annahme. Auf deiner Zeichnung nach also die grüne Kurve.
gruß
raumzeit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Di 04.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo!
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, ist nach folgendem Mittelwert (M) gesucht:
[mm] \bruch{ \integral_{a}^{b} {f(x) dx}}{b-a}
[/mm]
wobei a und b eine beliebige Anzahl von Perioden einschließen.
Diesen kann man jetzt anhand eines konkreten Intervalles berechnen (z.B. [0;2]:
[mm] \bruch{ \integral_{0}^{2} {f(x) dx}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Das kann man jetzt noch für andere Intervalle wiederholen, um sich zu vergewissern, allerdings ist damit noch kein mathematischer Beweis geliefert!
Wir müssen also noch zeigen, dass das für Intervalle mit beliebig vielen Perioden gilt. Um dies zu tun brauchen wir erstmal eine allgemeine Funktionsgleichung:
f(x) = [mm] (x-(2z+1))^2+1 [/mm] für [mm] 2z\le x\le [/mm] 2z+2 ; [mm] z\in \IZ
[/mm]
Nun müssen wir das Integral über ein (fast) beliebiges Intervall berechnen. Also:
[mm] \integral_{2z}^{2z+2n} [/mm] {f(x) dx} ; [mm] n\in \IN
[/mm]
Da wir aber nicht davon ausgehen können, dass f in diesem Intervall stetig ist, können wir das Intgral nicht direkt berechnen (Zumal sich ja die Funktionsgleichung mit jeder Periode ändert). Glücklicherweise ist f periodisch, d.h. wir berechnen einfach die Summe der Integrale über jeweils eine Periode:
[mm] \integral_{2z}^{2z+2n} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \summe_{k=z}^{z+n} \integral_{2k}^{2k+2} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \summe_{k=z}^{z+n} \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] n
(Die komplette Rechnung habe ich mir gespart, ist aber ganz simpel: man ersetzt das z in der Funkionsgleichung durch k und integriert ganz gewöhnlich)
Das teilt man jetzt noch durch die Differenz der Integrationsgrenzen (s.o.), und siehe da, man erhält M!
[mm] \bruch{\bruch{8}{3}n}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
q.e.d.
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 05.01.2005 | | Autor: | raumzeit |
Hallo,
also dieses Vorgehen verstehe ich nicht ganz. Wozu z.B. hast du 2z angegeben. Man kann doch auch die Originalfunktion für einen Parabelbogen nehmen [mm] (x-1)^2 [/mm] + 1 !?
Warum nimmst du diese Integrationsgrenzen ??
Gruß
Torben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mi 05.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo raumzeit,
> also dieses Vorgehen verstehe ich nicht ganz. Wozu z.B.
> hast du 2z angegeben. Man kann doch auch die
> Originalfunktion für einen Parabelbogen nehmen [mm](x-1)^2[/mm] + 1
> !?
Ja, aber nur im Intervall [0;2] (Die Funktionsgleichung verändert sich ja mit jeder Periode, da die Funktion aus aneinander gehängten Parabeln besteht).
D.h., man kann mit deiner Gleichung sofort den Mittelwert berechnen (anschaulich ist es ja klar, dass der Mittelwert aus einem beliebigen Intervall gleich dem allgemeinen Mittelwert ist). Aber damit ist ja noch nicht bewiesen, dass das in jedem Intervall, welches "beliebig viele Perioden umfasst" so ist. Der Beweis ist natürlich für so einen simplen Sachverhalt ziemlich "Overkill"... 
Deswegen war der Beweis eigentlich nur eine Art Zusatz. Die Antwort auf deine ursprüngliche Frage ist: M= [mm] \bruch{4}{3} [/mm] (s.o.)
> Warum nimmst du diese Integrationsgrenzen ??
Die Integrationsgrenzen beschreiben ein beliebiges Intervall nach den o.g. Bedingungen:
Die untere Grenze ist eine beliebige gerade Zahl (2z)
Die obere Grenze ist diese Zahl plus beliebig viele (n) Periodenlängen (2), also (2z+n*2).
Ich gebe zu, der Beweis ist schon etwas umständlich geführt, aber mir fällt im Moment nichts Einfacheres ein...
Grüße,
Chris
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