linearer Teilraum: Aufgaben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:50 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Yellowbird |
Hallo Ich habe irgendwie dieses mal ziemliche Probleme mit meinem Übungsblatt, also hier noch etwas was ich nicht verstehe:
Es seinen A und B nichtleere Teilmengen von R
F= [mm] {f\inF(R;R) für die gilt: f(x)=0 für alle x\inA}
[/mm]
G= [mm] {f\inF(R;R) für die gilt: f(x)=0 für alle x\in B}
[/mm]
man zeige:
i) F und G sind lineare Teilräume von F(R;R)
ii) Es gilt F [mm] \cap [/mm] G={0} genau dann, wenn A [mm] \cup [/mm] B=R gilt. ( Dabei ist 0 die Funktion in F(R;R) mit 0(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] R)
iii) Es gilt F+G=F(R;R) genau dann , wenn A [mm] \cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm] gilt
iv) Es gilt [mm] F\oplus [/mm] G=F(R;R) genau dann, wenn [mm] A=R\B [/mm]
Irgendwie finde ich diese ganze Aufgabe einschließlich der Aufgabenstellung ziemlich schwierig.
???
Ich habe diese Frage
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Yellowbird,
1) Für den ersten Teil mußt du zeigen, dass F und G nichtleer sind. Weiterhin zeige, dass F und G abgeschlossen sind bzgl. der (im Vektorraum definierten) Addition und der skalaren Multiplikation, also für [mm]f_1, f_2 \in F[/mm] und [mm]\lambda \in \IR[/mm] soll gelten:
[mm]f_1 + f_2 \in F[/mm]
[mm]\lambda * f_1 \in F[/mm]
Analog für G.
Versuche diese Bedingungen mal allein zu zeigen. Falls du nicht weiterkommst, poste konkrete Fragen!
2) Hier mußt du zwei Richtungen zeigen:
a) [mm]A \cup B=\IR \Rightarrow F \cap G = \{ 0 \}[/mm]
b) [mm]F \cap G = \{ 0 \} \Rightarrow A \cup B=\IR[/mm]
Die Richtung a) ist so zu zeigen:
Falls [mm]A \cup B=\IR[/mm], dann gilt
[mm]F \cap G =\{ f: f(x)=0 \ \forall x \in A \cup B \}
=\{ f: f(x)=0 \ \forall x \in \IR \} =\{ 0 \}[/mm] da genau so die Nullabbildung definiert ist.
Die Richtung b) müßte ganz genauso zu beweisen sein.
Kannst du bitte für 3) und 4) den Unterschied zwischen + und [mm] \oplus [/mm] erläutern? Soll [mm]F(\IR,\IR)[/mm] gleich [mm]f(\IR,\IR)[/mm] gleich der Menge der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sein? Ich verstehe die Aufgabe so im Moment noch nicht ganz.
Ich hoffe, ich konnte dir etwas weiterhelfen!
Gruß,
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 09.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Ich glaube dieses zeichnen [mm] \oplus [/mm] heißt direkte Summe. Wenn wir zwei Teilräume haben [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] Dann heißt [mm] A_{1} [/mm] + [mm] A_{2} [/mm] eine direkte Summe falls [mm] A_{1} \cap A_{2} [/mm] = [mm] \{ \underline{0} \} [/mm]
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