lineares GS in GF(2) < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 07.07.2012 | | Autor: | lill |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems im Primkörper GF(2):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Hallo,
ich habe bereits eine ähnliches Aufgabe gelöst. Jedoch im Primkörper GF(5).
Eigentlich sollte der Lösungsweg deswegen ähnlich sein...
Folgendes sollen die richtigen Ergebnisse sein:
(0, 0, 0, 0, [mm] 0)^{T}, [/mm] (1, 1, 0, 1, [mm] 0)^{T}, [/mm] (0, 1, 1, 0, [mm] 1)^{T}, [/mm] (1, 0, 1, 1, [mm] 1)^{T}
[/mm]
Mein erstes Problem ist, dass ich die Lösung nicht einmal verstehe. Bei der (oben erwähnten) ähnlichen Aufgabe in GF(5) sollten wir die Werte für [mm] x_1, x_2, [/mm] etc. bestimmen.
Ich dachte, dass es wahrscheinlich irgendwie so gelöst werden sollte, aber wie gesagt, mit den Ergebnissen kann ich leider nichts anfangen :(
I 1 0 0 1 0 0
II 0 1 0 1 1 0 [mm] +III_1
[/mm]
III 0 0 1 0 1 0 +II
--------------------------------
[mm] III_1 [/mm] 0 1 1 1 0 0
[mm] II_1 [/mm] 0 0 1 0 1 0 +III
--------------------------------
[mm] II_2 [/mm] 0 0 0 0 0 0
Es wäre echt super, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich auf die oben genannten Lösungen komme.
Lg lill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also das schöne ist, dass die Matrix ja schon in Stufenform gegeben ist. Nun ist das Problem dass du mehr Variablen als Unbestimmte hast. Wenn du in [mm] \IR [/mm] wärst, wüsstest du bestimmt, was zu tun ist: Du setzt [mm] x_4=s [/mm] und [mm] x_5=t [/mm] ($s,t [mm] \in \IR$) [/mm] und dann kannst du daraus noch die Lösungen für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] hinschreiben. Das läuft hier so ähnlich, nur sogar noch einfacher. Du brauchst nicht [mm] x_4=s [/mm] und [mm] x_5=t [/mm] ($s,t [mm] \in [/mm] GF(2)$), weil du die Möglichkeiten für s und t ja an einer Hand abzählen kannst. ;)
Fang also z.B. mit [mm] x_4=0, x_5=0 [/mm] an. Dann erhältst du deinen 1. Lösungsvektor (bei dem die letzten beiden Komponenten auch 0 sind!).
Dann setze [mm] x_4=1 [/mm] und [mm] x_5=0. [/mm] Das liefert deinen 2. Vektor usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 07.07.2012 | | Autor: | ron |
Hallo,
zum Verständnis der Lösung.
Die Matrixoperation ausführen, damit ergibt sich für den Nullvektor automatisch die Richtigkeit. Das zweite Lösungsbeispiel nur mit der ersten Matrixzeile ausgeführt ergibt: 1x1 + 1x0 + 0x0 + 1x1 + 0x0 = 2 in GF(2) = 0
Ähnlich nachrechnen für die anderen Lösungen. Dann prüfen ob die Lösungen linear unabhängig sind in GF (2)!
Für die Berechnung der Lösungen ist das aufgezeigte Verfahren i.O. Allerdings rechnet man ja immer in GF (2). Dadurch könnten z.B. andere Zahlen auftreten, die letztlich nur 1 und 0 sind (z.B. 3 in GF(2) = 1 / 2=0)
Natürlich stehen "nur" 0 und 1 zur Verfügung.
Hoffe etwas Sicherheit vermittelt zu haben und die Lösung sollten mit dem bekannten Verfahren leicht zu berechnen sein.
Mfg
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:23 So 08.07.2012 | | Autor: | lill |
Wahrscheinlich bin ich grad etwas Wissensresistent, aber irgendwie verstehe ich immer noch nicht, wie ich auf die Ergebnisse komme, sorry, wenn ich grad etwas dämlich wirke, aber die Vorlesung ist leider schon 2 Jahre her.
Könnte mir jemand "ganz ausführlich" eines der Ergebnisse vorrechnen? (vllt nicht gerade (0,0,0,0,0) ;))
Ich hoffe, das ist nicht zu viel verlangt.
Bevor jemand schimpft, es handelt sich um keine Hausaufgabe, ich rechne die Übungen als Klausurvorbereitung
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Hallo,
zu lösen in GF(2) ist
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 } \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $.
Ich gehe davon aus, daß Du in [mm] \IR [/mm] LGSe lösen kannst.
Die Matrix ist bereits in (reduzierter) ZSF.
Wenn wir ganz normal im [mm] \IR [/mm] rechnen würden, hätten wir, daß der Kern Deiner Matrix, der Lösungsraum des Gleichungssystems, von [mm] \vektor{1\\1\\0\\-1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\0\\-1} [/mm] aufgespannt wird.
Nun sind wir in GF(2). Hier ist -1=1,
also wird der Lösungsraum aufgespannt von [mm] \vektor{1\\1\\0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\0\\1}.
[/mm]
Also sind alle Lösungen von der Bauart
[mm] t_1\vektor{1\\1\\0\\1\\0}+t_2*\vektor{0\\1\\1\\0\\1}.
[/mm]
Da wir in GF(2) rechnen, sind [mm] t_1, t_2\in \{0,1\}.
[/mm]
Nun rechne die alle Lösungsvektoren aus, indem Du nacheinander alle möglichen Paare [mm] (t_1, t_2) [/mm] durchrechnest.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 08.07.2012 | | Autor: | asgaroth |
Hallo, ich bin auch gerade an dem Problem aber das mit dem Lösungsraum habe ich irgendwie nicht verstanden. Wie kommt man auf diesen?
Viele Grüße, Johann
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wie man ein homogenes lineares Gleichungssystem löst, habe ich mal hier erklärt.
LG Angela
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