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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich habe mal wieder ein kleines Problem:
Ich soll ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit geeignetem A [mm] \in [/mm] M(p x n, K) und b [mm] \in K^p [/mm] finden mit n = 3 und Koeffizienten in K = [mm] \IQ, [/mm] dessen Lösungsraum durch
L(A,b) = { [mm] \vektor{1\\2+t\\3-t} [/mm] | t [mm] \in \IQ [/mm] }
gegeben ist.
Ich weiß, dass die Matrix, die ich suche eine Nullzeile haben muss, weil der Lösungsraum nur eindimensional ist. Aber ich weiß nicht, wie ich auf die anderen Einträge schließen kann.
Es wäre schön, wenn mir jemand eine Anleitung zum Vorgehen geben könnte oder eine eigene Lösung mit "Findung" beschreiben könnte.
Vielen Dank!
Jasmin
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> Ich soll ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem Ax
> = b mit geeignetem A [mm]\in[/mm] M(p x n, K) und b [mm]\in K^p[/mm] finden
> mit n = 3 und Koeffizienten in K = [mm]\IQ,[/mm] dessen Lösungsraum
> durch
>
> L(A,b) = [mm]\{ \vektor{1\\2+t\\3-t} \mid t \in \IQ \}[/mm]
>
> gegeben ist.
Allgemein ist [mm]L(A,b)[/mm] von der Form [mm]L(A,b) = y + \ker A[/mm], wobei [mm]y[/mm] eine Lösung von [mm]Ax = b[/mm] ist, d.h [mm]Ay = b[/mm]. [mm]\ker A[/mm] ist die Menge aller [mm]x[/mm] mit [mm]Ax = 0[/mm].
Die rechte Seite schreiben wir mal um:
[mm](1,2,3) + \{(0,t,-t) \mid t \in \IQ\}[/mm].
Jetzt müsste man eine Matrix [mm]A[/mm] finden, mit
[mm]\ker A = \{(0,t,-t) \mid t \in \IQ\}[/mm].
Dann kann man [mm]b[/mm] wählen mit [mm]b := A(1,2,3)^t[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
> Allgemein ist [mm]L(A,b)[/mm] von der Form [mm]L(A,b) = y + \ker A[/mm],
> wobei [mm]y[/mm] eine Lösung von [mm]Ax = b[/mm] ist, d.h [mm]Ay = b[/mm]. [mm]\ker A[/mm] ist
> die Menge aller [mm]x[/mm] mit [mm]Ax = 0[/mm].
>
> Die rechte Seite schreiben wir mal um:
> [mm](1,2,3) + \{(0,t,-t) \mid t \in \IQ\}[/mm].
Bis hierhin habe ich soweit alles verstanden. Den folgenden Schritt verstehe ich allerdings nicht. Woher weiß ich, dass diese Bedingung erfüllt sein muss? Und woher weiß ich dann, dass ich das b aus dem obigen Lösungsraum verwenden muss?
> Jetzt müsste man eine Matrix [mm]A[/mm] finden, mit
> [mm]\ker A = \{(0,t,-t) \mid t \in \IQ\}[/mm].
> Dann kann man [mm]b[/mm]
> wählen mit [mm]b := A(1,2,3)^t[/mm].
Könntest du die Lösung vielleicht doch ausführen? Du würdest mir damit sehr helfen.
Vielen Dank!
Jasmin
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> Könntest du die Lösung vielleicht doch ausführen? Du
> würdest mir damit sehr helfen.
Für
[mm]A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} \in \IQ^{3 \times 3}[/mm]
gilt [mm]\ker A = \IQ \cdot (0,1,-1)^t[/mm], sowie
[mm]A(1,2,3)^t = (1,0,5)^t[/mm].
Wenn wir jetzt setzen [mm]b := (1,0,5)^t[/mm], so hat das LGS [mm]Ax = b[/mm] eine partikuläre Lösung, nämlich [mm](1,2,3)^t[/mm]!
Also ist der Lösungsraum gegeben durch
[mm]L(A,b) = (1,2,3)^t + \ker A[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 06.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
noch eine kleine Bemerkung : Es muss keine Nullzeile geben - in der Aufgabe ist nicht gefordert, dass es ein 3x3 System ist - es könnte auch mehrere oder keine Nullzeile geben (die vorhandene streichen).
Nur noch schnell zu Erklärung :
wenn man eine Lösung des inhomogenen Gl.sys. kennt , kann man immer beliebige Lösungen des homogenen Gl.sys. ranaddieren, denn diese ergeben ja das Bild 0 (als Vektor) und ändern deshalb nichts an der Lösung des inhomogenen Systems.
viele Grüße
DaMenge
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