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| Aufgabe | Der Zustand x=1, y=2 ist eine Gleichgewichtslage des Systems d/dtx(t)=3x³(t)-x(t)-y(t);
d/dty(t)=2x(t)y(t)-y²(t).
Überprüfen Sie diesen Zustand auf seine lokale Stabilität mit Hilfe des Kriteriums der linearisierten Stabilität. |
Also: ich weiß, dass ich die Eigenwerte dieses GLeichungssystems ausrechnen muss, leider habe ich keine Ahnung, wie ich von den Gleichungen auf meine Matrix komme. Weiters wollte ich fragen, ob mir jemand erklären könnte, was genau das Kriterium der linearisierten Stabilität ist?!
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo julchen89,
> Der Zustand x=1, y=2 ist eine Gleichgewichtslage des
> Systems d/dtx(t)=3x³(t)-x(t)-y(t);
> d/dty(t)=2x(t)y(t)-y²(t).
> Überprüfen Sie diesen Zustand auf seine lokale
> Stabilität mit Hilfe des Kriteriums der linearisierten
> Stabilität.
>
> Also: ich weiß, dass ich die Eigenwerte dieses
> GLeichungssystems ausrechnen muss, leider habe ich keine
> Ahnung, wie ich von den Gleichungen auf meine Matrix komme.
Linearisiere die rechte Seite des gegebenen Systems
um den oben genannten Zustand.
Bilde also das Taylorpolynom 1. Ordnung um die Entwicklungsstelle (1,2).
> Weiters wollte ich fragen, ob mir jemand erklären könnte,
> was genau das Kriterium der linearisierten Stabilität
> ist?!
Höchstwahrscheinlich sind die Stabilitätskriterien
auf das linearisierte System anzuwenden.
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruss
MathePower
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hallo!
danke für die antwort, leider bin ich schon etwas eingerostet, was mathe betrifft, deshalb meine frage: wie bilde ich das taylorpolynom 1.Ordnung?
bekomme ich dann als antwort meine matrix und kann mit dieser meine eigenwerte ausrechnen oder muss ich anders weiterrechnen?
danke lg
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Hallo julchen89,
> hallo!
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> danke für die antwort, leider bin ich schon etwas
> eingerostet, was mathe betrifft, deshalb meine frage: wie
> bilde ich das taylorpolynom 1.Ordnung?
Für eine Funktion f(x,y) lautet das Taylorpolynom um den
Entwicklungspunkt [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm] ( hier [mm]x_{0}=1, \ y_{0}=2[/mm] ):
[mm]T_{1}\left(x,y\right)=f\left(x_{0},y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)[/mm]
wobei [mm]f_{x}, \ f_{y}[/mm] die partiellen Ableitungen nach x und y sind.
> bekomme ich dann als antwort meine matrix und kann mit
> dieser meine eigenwerte ausrechnen oder muss ich anders
> weiterrechnen?
>
Ja, dann bekommst eine Matrix, deren Einträge konstant sind.
Von dieser Matrix kannst Du dann die Eigenwerte ausrechnen.
> danke lg
Gruss
MathePower
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so, ich hab die taylorpolynome gebildet, sie lauten:
T1= 8x-y-6
T2= 4x-2y
Stimmt das so weit? lautet meine matrix jetzt:
(8 -1)(x) = (-6)
(4 -2)(y) = (0)
ist das richtig??
vielen dank
lg julchen
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Hallo julchen89,
> so, ich hab die taylorpolynome gebildet, sie lauten:
>
> T1= 8x-y-6
> T2= 4x-2y
>
> Stimmt das so weit? lautet meine matrix jetzt:
>
Die Taylorpolynome sind in der Form [mm]a*\left(x-1\right)+b*\left(y-2\right)[/mm] zu schreiben.
Wobei a und b die partiellen Ableitungen nach x bzw. y an der Stelle (1,2) bedeuten.
> (8 -1)(x) = (-6)
> (4 -2)(y) = (0)
>
> ist das richtig??
>
Die Matrix lautet nur [mm]\pmat{8 & -1 \\ 4 & -2}[/mm]
> vielen dank
> lg julchen
Gruss
MathePower
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