lip stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 So 22.02.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute, sehe ich das richitg:
(echte) gleichmäßig stetige funktionen, die also gleichmäßig stetig sind, aber nicht lip.stetig sind funktionen, dessen steigung an mindestens einem rand unendlich groß (klein) werden, aber dann auch nach oben (nach unten) beschränkt ist an diesem rand oder?
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 22.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir mal an, f: [a,b] ---> [mm] \IR [/mm] sei auf [a,b] differenzierbar. Dann ist f auf [a,b] stetig, sogar glm. stetig.
Ist f auf [a,b] nicht Lipschitzstetig, so ist f' auf [a,b] nicht beschränkt (Mittelwertsatz !)
Viel mehr kann man nicht sagen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 23.02.2009 | | Autor: | AriR |
deckt sich das nicht mit dem was ich gesagt habe? ich sehe da jetzt gerade keinen unterschied. wenn die steigungen nicht beschränkt sind, dann sind die stellen, an denen die steigung beliebig große (kleine werte) annehmen doch die ränder oder?
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Di 24.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> deckt sich das nicht mit dem was ich gesagt habe? ich sehe
> da jetzt gerade keinen unterschied. wenn die steigungen
> nicht beschränkt sind, dann sind die stellen, an denen die
> steigung beliebig große (kleine werte) annehmen doch die
> ränder oder?
naja, es kann dann ja z.B. so sein, dass es eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] gibt, die gegen einen Randpunkt strebt mit [mm] $|f'(x_n)| \to \infty$. [/mm] Das heißt nicht, dass die Ableitung am Randpunkt dann automatisch auch den Betrag [mm] $\infty$ [/mm] haben muss, sie muss noch nicht mal existieren.
(Wenn mich nicht alles täuscht, könnte man [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] mal auf $(0,1]$ betrachten. Diese Funktion ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig fortsetzbar, aber, ohne jetzt rechnen zu wollen, wird man sicher einer Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $(0,1]$ mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ finden, so dass [mm] $|f'(x_n)| \to \infty$.)
[/mm]
Fred hat aber zusätzlich $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar auf $[a,b]$ gefordert.
Wenn man dies nicht tut, so kannst Du ja mal Deine Aussage für $f: [-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\text{sign}(x)*\sqrt{|x|}$ [/mm] überprüfen. [mm] ($\text{sign}(x):=x/|x|$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $\text{sign}(0):=0$.)
[/mm]
Diese Funktion ist stetig (und damit auch glm. stetig) auf $[-1,1]$, aber nicht Lipschitzstetig. Das Problem ist hier die Stelle [mm] $x_0=0$, [/mm] an welcher man $f$ die Steigung [mm] $\infty$ [/mm] zuordnen könnte (" [mm] $f'(0)=\infty$ [/mm] ").
Also auch, wenn Du " [mm] $f\,$ [/mm] stetig auf $[a,b]$ " forderst, so ist Deine Aussage falsch (obiges [mm] $f\,$ [/mm] hat nämlich an $0 [mm] \in [/mm] [-1,1]$ die "Steigung [mm] $\infty$").
[/mm]
Du müßtest Deine Aussage also mal konkreter formulieren:
Sei $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] eine glm. stetige, aber nicht Lipschitzstetige Funktion. Ist [mm] $\,f$ [/mm] auf [mm] $I^o$ [/mm] differenzierbar und gilt..., dann...
Zur Formulierung Deiner Behauptung musst Du anscheinend geeignete Forderungen an $I$ finden und evtl. noch Zusatzvoraussetzungen an [mm] $\,f$ [/mm] (Differenzierbarkeit auf $I$ oder auf [mm] $I^o$ [/mm] (dem Inneren von $I$)), wobei bei Dir wohl eh jedenfalls stets $I [mm] \subset \IR$ [/mm] ein Intervall sein soll...
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Di 24.02.2009 | | Autor: | AriR |
stimmt das kann nicht nur an den rändern dann probleme geben.
ich versuche es mal so:
(echte) gleichmäßig stetige funktionen, die also gleichmäßig stetig sind, aber nicht lip.stetig sind die gleichmäßig stetigen funktionen [mm] f:I\to\IR [/mm] für die es min ein punkt [mm] {x_o\in I} [/mm] gibt für das gilt: sei [mm] x_n [/mm] eine beliebige folge [mm] ({x_n\in I} [/mm] für alle [mm] n\in\IN) [/mm] mit [mm] \lim{x_n}=x_0 [/mm] und weiterhin [mm] \lim{f'(x_n)}=\pm\infty [/mm] und [mm] \lim{f(x_n)}\not=\pm\infty [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 27.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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