lipschitz- aber nicht hölders < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 07.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Eine Abbildung f : D [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \to [/mm] W heißt hölderstetig mit Exponent [mm] \alpha \in [/mm] ]0, 1[,
wenn mit einer Konstanten C > 0 gilt:
||f(x) − [mm] f(y)||_W [/mm] [mm] \le [/mm] C(||x − [mm] y||_V)^{\alpha} [/mm] für alle x, y [mm] \in [/mm] D.
Zeige, dass eine hölderstetige Abbildung stetig ist.
Gib ein Beispiel einer lipschitzstetigen Abbildung,die nicht hölderstetig ist. |
Hallo, der erste Teil ist trivial:
wenn mit einer Konstanten C > 0 gilt:
||f(x) − [mm] f(y)||_W [/mm] [mm] \le [/mm] C(||x − [mm] y||_V)^{\alpha} \le [/mm] L (||x − [mm] y||_V)^{1} [/mm] damit Lipschitzstetig, also stetig.
mir fällt nur kein Beispiel ein, welches lipschitzstetig aber nicht hölderstetig ist.
Wisst ihr eins ?
MfG
Christoph
PS: vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 07.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
deine Abschätzung ist nicht richtig, denn für eine Zahl muss z.B. die Wurzel nicht immer kleiner sein, als die Zahl selbst. Wähle z.B. 1/4, dessen Wurzel ja 1/2 ist.
Aber konvergiert x gegen ein festes a, so kannst du mit der Ungleichung direkt folgern, dass f(x) gegen f(a) konvergiert.
Ein Beispiel fällt mir im Moment jetzt nicht ein.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:29 Do 07.06.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo, erst einmal vielen dank.
> Hallo,
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> deine Abschätzung ist nicht richtig, denn für eine Zahl
> muss z.B. die Wurzel nicht immer kleiner sein, als die Zahl
> selbst. Wähle z.B. 1/4, dessen Wurzel ja 1/2 ist.
>
> Aber konvergiert x gegen ein festes a, so kannst du mit der
> Ungleichung direkt folgern, dass f(x) gegen f(a)
> konvergiert.
>
Wie soll das denn genau aussehen?
wieso kann ich annehmen, dass f(x) gegen f(a) konvergiert?
> Ein Beispiel fällt mir im Moment jetzt nicht ein.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
>
> Gruß
> Hund
Ein Beispiel siehe Aufgabe währe interessant, falls jemandem anderen noch etwas einfällt.
MfG
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 10.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:00 Fr 08.06.2007 | | Autor: | CPH |
Du hast recht, der bewie muss so lauten:
sei [mm] \epsilon [/mm] >0 , [mm] \alpha \in [/mm] ]0,1[:
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \left( \bruch{\epsilon}{1+C} \right) [/mm] ^ [mm] {\bruch{1}{\alpha}}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D gelte: [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel_v [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
es gelte:
[mm] \parallel [/mm] f(x) -f(y) [mm] \parallel_w \le [/mm] C [mm] (\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel_v )^{\alpha} \le [/mm] C [mm] \delta ^{\alpha} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
nach Wahl von Delta
[mm] \Rightarrow [/mm] hölderstetige Funktionen sind stetig.
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