log-likelihood - Bernoulli < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Consider a set of T independent observations on a Bernoulli random variable, which takes on the values [mm] y_{t} [/mm] = 1 with probability θ and the values [mm] y_{t} [/mm] = 0 with probability 1 - θ.
a) Derive the log-likelihood function for this problem
b) Derive the score and the MLE of θ
c) Derive the information matrix
d) Compute LR, W and LM-test statistics for testing [mm] H_{0}: [/mm] θ = θ_0 vs. [mm] H_{A}: [/mm] θ [mm] \not= [/mm] θ_0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bei a) und b) habe ich eine bereits eine halbwegs plausible Lösung, bei der ich nur wissen möchte, ob sie so stimmt.
a)
probability distribution
f(θ, p) = θ^p * (1- θ^(1-p))
Dann darüber die Summe ziehen.
Und dann die Funktion logarithmieren.
ln L(θ, p) = ln [mm] \produkt_{i=1}^{t} p_i [/mm] * ln(θ) + [mm] (1-p_i) [/mm] * ln(1-θ)
b)
score
[mm] g_i [/mm] = [mm] \partial [/mm] ln L(θ, [mm] p)/\partial [/mm] θ = [mm] p_i/theta [/mm] - [mm] (1-p_i)/(1-theta)
[/mm]
MLE
[mm] g_i [/mm] = 0
Ergebnis: p = θ
c)
Ich weiß, dass ich hierfür den Erwartungswert des quadrierten Score verwenden muss, also
[mm] I_i(θ) [/mm] = [mm] E[(g_i(θ))²] [/mm] = [mm] E((p_i/theta [/mm] - [mm] (1-p_i)/(1-theta))^{2})
[/mm]
und das einzige das ich jetzt habe, ist einfach die binomische Formel zu verwenden und auszurechnen. Weitere Vereinfachungen bzw. Umformulierungen habe ich nicht gefunden, oder was es das bereits schon?
d)
Da habe ich absolut keine Ahnung. Ich weiß zwar, wie diese Test-Statistiken vom theoretischen Standpunkt her funktionieren (Wald-Test schaut auf den nicht restringierten Parameter, LR-Test schaut auf die Differenz zwischen restringierten und nicht restringierten Parameter und der LM-Test schaut auf den restringierten Paramter), aber wie ich da mit Zahlen umgehen soll, weiß ich nicht.
Entschuldigung, aber die Darstellung des Theta-Zeichens hat nicht immer funktioniert, weswegen ich den Buchstaben teilweise wörtlich ausgeschrieben haben.
Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 28.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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