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Hallo,
folgende Funktion soll mittels logarithmischer Differentiation abgeleitet werden:
[mm] y=2*e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] ln(y)=ln(2*e^{-\bruch{1}{x}})
[/mm]
Kettenregel links:
[mm] \bruch{y'}{y}=-\bruch{1}{x}*ln(2e)
[/mm]
Produktregel rechts:
[mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x^2}*ln(2e)-\bruch{1}{2ex}
[/mm]
Nun nach y' aufgelöst:
[mm] y'=(\bruch{ln(2e)}{x^2}-\bruch{1}{2ex})*2e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
Ist leider nicht richtig... Die Lösung ist:
[mm] y=2(e^{-\bruch{1}{x}}*\bruch{1}{x^2})
[/mm]
Über die Kettenregel ohne logarithmieren bin ich ohne Probleme auf das Ergebnis gekommen... Aber so irgendwie nicht... Was habe ich falsch gemacht?
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Di 10.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ln(2*a)=ln2+lna
[mm] ln(e^a)=a
[/mm]
das logarithmische Ableiten muß doch auch einen Sinn haben!
versuchs also noch mal mit dem log- Regeln im Kopf.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Di 10.12.2013 | | Autor: | sonic5000 |
oh ja, da hast Du wohl Recht... Mal wieder ein Brett vorm Kopf...
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Di 10.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wieso du hier logarithmieren willst, aber vielleicht dient es nur zur eigenen Übung?
[mm] y=2e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \ln(y)=\ln(2e^{-\frac{1}{x}})=\ln(2)+\ln(e^{-\frac{1}{x}})=\ln(2)-\frac{1}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=e^{\ln(2)-\frac{1}{x}}
[/mm]
Das Spiel kannst du beliebig oft zur eigenen Übung fortführen 
Jetzt du!
[mm] y'=\ldots
[/mm]
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Di 10.12.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Soweit ich weiß kann man mit der logarithmischen Differentiation andere Ableitungsregeln beweisen... Deswegen versuche ich als Übung diese Art der Differentiation...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:58 Di 10.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Leider kann ich deiner Rechnung nicht wirklich folgen.
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:21 Di 10.12.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Als Beispiel:
Die Potenzregel besagt:
[mm] x^n [/mm] wird abgeleitet zu [mm] n*x^{n-1}
[/mm]
Wenn Du folgende Funktion logarithmierst passiert folgendes:
[mm] y=x^n
[/mm]
[mm] ln(y)=ln(x^n)
[/mm]
Links mit Kettenregel ableiten
[mm] \bruch{y'}{y}=n*ln(x)
[/mm]
Rechts mit Produktregel ableiten:
[mm] \bruch{y'}{y}=0*ln(x)+\bruch{1}{x}*n=\bruch{n}{x}
[/mm]
Nach y' auflösen:
[mm] y'=\bruch{n}{x}*x^n=n*x^{n-1}
[/mm]
Man kann somit wohl auch noch die Quotientnregel beweisen...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:32 Di 10.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Als Beispiel:
>
> Die Potenzregel besagt:
>
> [mm]x^n[/mm] wird abgeleitet zu [mm]n*x^{n-1}[/mm]
>
> Wenn Du folgende Funktion logarithmierst passiert
> folgendes:
>
> [mm]y=x^n[/mm]
>
> [mm]ln(y)=ln(x^n)[/mm]
>
> Links mit Kettenregel ableiten
>
> [mm]\bruch{y'}{y}=n*ln(x)[/mm]
Sei dir aber im Klaren, dass die Gleichung so nicht mehr gilt.
>
> Rechts mit Produktregel ableiten:
>
> [mm]\bruch{y'}{y}=0*ln(x)+\bruch{1}{x}*n=\bruch{n}{x}[/mm]
Schneller mit Faktorregel! [mm] (\alpha*f)'=\alpha*f'
[/mm]
>
> Nach y' auflösen:
>
> [mm]y'=\bruch{n}{x}*x^n=n*x^{n-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Man kann somit wohl auch noch die Quotientnregel
> beweisen...
Quotientenregel.
>
> LG
>
>
DieAcht
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