logarithmus naturalis < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 20.11.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
ich hab mal wieder nen problem. wir haben vor kurzem den logarithmus naturalis eingeführt, aber ich weiß nicht, wie ich damit umgehen soll. mir is schon klar, dass die ableitung 1/x is, aber bei den aufgaben hab ich probleme. ich hab mich drangesetzt, will sie jetzt nur bestätigen bzw. korrigieren lassen.
also:
aufgabe: Lösen Sie dieGleichungen und geben Sie die Lösung mit 4 Dezimalzahlen an!
a) [mm] e^{-0,5 x^2 +3} [/mm] =2 /ln
ln( [mm] e^{-0,5 x^2 +3}) [/mm] = ln2
( -0,5 [mm] x^2 [/mm] +3) *ln e = ln2
-0,5 [mm] x^2 [/mm] +3= [mm] \bruch{ln2}{ln e} [/mm] /*(-2)
x² -6 = -2* ln2 /+6
x² = -2*ln2 +6 /wurzel
x = [mm] \pm \wurzel{-2*ln2 +6}
[/mm]
b) ln ( [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - ln x =4
ln1 - ln x - ln x =4
-2 lnx =4
ln x = -2
wie komme ich jetzt an das x dran? da liegt mein problem, ich kann die formeln (noch) nicht anwenden.... :-(
wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könntet.
LG,
ziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ziska,
> aufgabe: Lösen Sie dieGleichungen und geben Sie die Lösung
> mit 4 Dezimalzahlen an!
> a) [mm]e^{-0,5 x^2 +3} = 2 [/mm] /ln
> [mm]ln(e^{-0,5 x^2 +3}) = ln2[/mm]
> [mm](-0,5*x^2 + 3) *ln e = ln2 [/mm]
Der Schritt "| : lne" ist überflüssig, da immer gilt : ln e = 1 !!
> [mm] -0,5*x^2 + 3= \bruch{ln2}{ln e}[/mm] /*(-2)
> x² -6 = -2* ln2 /+6
> x² = -2*ln2 +6 /wurzel
> x = [mm]\pm \wurzel{-2*ln2 +6}[/mm]
Wunderbar ... sprich: alles richtig!
Nur noch die beiden Zahlenwerte in denTaschrechner einhacken und angeben ...
> b) ln ([mm]\bruch{1}{x}[/mm]) - ln x =4
> ln1 - ln x - ln x =4
> -2 lnx =4
> ln x = -2
Bis hier alles OK.
In der 1. Aufgabe hast Du doch als Umkehrfunktion zur e-Funktion den ln benutzt.
Hier gilt natürlich auch die Umkehrung, d.h. die e-Funktion ist die Umkehrung der ln-Funktion.
Konkret heißt das: auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden:
ln x = -2 / [mm] $e^{...}$
[/mm]
[mm] $e^{ln x} [/mm] = [mm] e^{-2}$
[/mm]
$x = [mm] e^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^2} \approx [/mm] 0,1353$
Grüße + ein schönes Wochenende
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 So 21.11.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
> Bis hier alles OK.
> In der 1. Aufgabe hast Du doch als Umkehrfunktion zur
> e-Funktion den ln benutzt.
> Hier gilt natürlich auch die Umkehrung, d.h. die
> e-Funktion ist die Umkehrung der ln-Funktion.
> Konkret heißt das: auf beiden Seiten die e-Funktion
> anwenden:
>
> ln x = -2 / [mm]e^{...}[/mm]
> [mm]e^{ln x} = e^{-2}[/mm]
> [mm]x = e^{-2} = \bruch{1}{e^2} \approx 0,1353[/mm]
>
erstmal danke für deine mühe, jedoch versteh ichs immer noch nicht.
warum ist [mm]e^{ln x}[/mm] = x ?!? das versteh ich nicht. könntest du mir das bitte erklären?
LG,
ziska
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Hallo!
> > ln x = -2 / [mm]e^{...}[/mm]
> > [mm]e^{ln x} = e^{-2}[/mm]
> > [mm]x = e^{-2} = \bruch{1}{e^2} \approx 0,1353[/mm]
>
> >
> erstmal danke für deine mühe, jedoch versteh ichs immer
> noch nicht.
> warum ist [mm]e^{ln x}[/mm] = x ?!? das versteh ich nicht. könntest
> du mir das bitte erklären?
Also, das ist eine Sache, die ich anfangs auch nicht verstanden habe. Aber eigentlich ist es genauso, wie bei allen anderen Funktionen, nur dass man mit der e-Funktion und ln erst so spät in der Schule anfängt, wo einem alles andere schon so bekannt vorkommt.
Im Prinzip ist es nichts anderes, als wenn du [mm] \wurzel{x^2} [/mm] berechnen würdest. Das ist doch klar, dass das wieder x ergibt, oder? Weil die Wurzel genau die Umkehrfunktion der Quadratfunktion ist. Oder wie wenn du arcsin(sin(x)) berechnest - arcsin ist die Umkehrfunktion des Sinus, also bekommst du wieder x heraus. Das ist genau das Prinzip der Umkehrfunktionen, dass man, wenn man sie "gegenseitig" anwendet, wieder das Ursprüngliche herausbekommt.
Und bei der e-Funktion ist es genauso: Die Umkehrfunktion ist ln, also bekommst du das Ursprüngliche, wenn du beides aufeinander anwendest. Wobei natürlich egal ist, ob du [mm] e^{lnx} [/mm] oder [mm] ln(e^x) [/mm] berechnest, es ist ja schließlich auch egal, ob du [mm] \wurzel{x^2} [/mm] oder [mm] (\wurzel {x})^2, [/mm] stimmt's?
Wenn du's mir nicht glaubst (es kommt schon mal vor, dass ich aus Versehen Blödsinn erzähle  ), kannst du einfach mal ein paar Werte in den Taschenrechner eingeben, und jeweils zuerst e und dann ln darauf anwenden, du bekommst immer wieder deinen ursprünglichen Wert! 
Ich denke, du musst dir das einfach merken, dass es eben bei Umkehrfunktionen so ist, und dass die zwei genau die Umkehrfunktion voneinander sind, und dann klappt das schon. Mehr zu verstehen gibt es da glaube ich nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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