logistisches wachstum < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Kulli |
| Aufgabe | Im tropischen Regenwald lebt isoliert ein 5000 Menschen zählender Indianerstamm.
Einer seiner Bewohner wird mit einer ungefährlichen, aber sehr ansteckenden Grippe infiziert. Durch gegenseitige Ansteckung in den darauf folgenden Wochen zählt man nach 4 Wochen bereits 300 Kranke.
a) Um die Ausbreitung dieser Grippe zu modellieren, geht man von logistischem Wachstum der Anzahl K der Erkrankten aus. Was spricht für diese Annahme?
b) Bestimmen Sie den Funktionsterm K(t). Nach welcher Zeit ist die Hälfte der Stammesbewohner krank? Welche Bedeutung hat dieser Zeitpunkt für die weitere Ausbreitung der Krankheit?
c) Wie groß ist in den ersten 2 Monaten die mittlere Zunahme an Erkrankten pro Woche? |
Hey!
Also ich habe diese Aufgabe gerade bearbetet und habe noch einige Fragen dazu.
Zu Teilafgabe a) könnte ich jetzt erstmal nur sagen, dass das Wachstum ja eine Grenze haben muss, da höchstens 5000 Meschen an der Grippe erkranken können. Also käme begrenztes und logistisches Wachstum in Frage. Wieso jetzt logistisches und nicht begrenztes Wachstum, da fällt mir als Begründung nur ein, dass ja ab 2500 Menschen mehr Menschen krank als gesund sind und so die Chance einen gesunden Menschen zu finden, der angesteckt werden kann, viel kleiner ist und dadurch die Zahl der kranken Menschen nicht mehr so stark zunehmen kann, wie vorher.
Aber ob das eine ausreichene Begründung ist, weiß ich nicht??
zu b)
Die funktion k(t) ist:
[mm] k(t)=\bruch{5000}{1+4999e^{-1,44t}}
[/mm]
Die Hälfte der Menschen, also 2500, sind nach k(t)=2500 krank, also nach ca. 5,91 Wochen.
Dieser Punkt, wie in a) auch schone rwähnt, bedeutet, dass die hälfte der menschen krank sind und so ab diesem zeitpunkt mehr leute krank als gesund sind. die funktion k'(t) hat dort ihren höhepunkt (??? stimmt das?)..
dort ist auch der wendepunkt (?) und ab da wechselt die funktion von exponentiellem zu log. wachstum über?
sicher bin ich mir bei dieser antwort aber überhaupt nicht.
c)
ich hätte jetzt einfach alle ergebnisse von k(0) bis k(8) zusammenaddiert und durch 8 geteilt, da man 8 wochen hat und so dann den mittelwert rausbekommt. in der schule hat unser lehrer die lösung für diesen teil allerdings schon gesagt und meinte man müsse rechnen:
[mm] \bruch{k(8)-k(0)}{8} \approx [/mm] 596
wieos??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 30.03.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Kulli!
> Im tropischen Regenwald lebt isoliert ein 5000 Menschen
> zählender Indianerstamm.
> Einer seiner Bewohner wird mit einer ungefährlichen, aber
> sehr ansteckenden Grippe infiziert. Durch gegenseitige
> Ansteckung in den darauf folgenden Wochen zählt man nach 4
> Wochen bereits 300 Kranke.
> a) Um die Ausbreitung dieser Grippe zu modellieren, geht
> man von logistischem Wachstum der Anzahl K der Erkrankten
> aus. Was spricht für diese Annahme?
> b) Bestimmen Sie den Funktionsterm K(t). Nach welcher Zeit
> ist die Hälfte der Stammesbewohner krank? Welche Bedeutung
> hat dieser Zeitpunkt für die weitere Ausbreitung der
> Krankheit?
> c) Wie groß ist in den ersten 2 Monaten die mittlere
> Zunahme an Erkrankten pro Woche?
> Also ich habe diese Aufgabe gerade bearbetet und habe noch
> einige Fragen dazu.
> Zu Teilaufgabe a) könnte ich jetzt erstmal nur sagen, dass
> das Wachstum ja eine Grenze haben muss, da höchstens 5000
> Menschen an der Grippe erkranken können. Also käme
> begrenztes und logistisches Wachstum in Frage. Wieso jetzt
> logistisches und nicht begrenztes Wachstum, da fällt mir
> als Begründung nur ein, dass ja ab 2500 Menschen mehr
> Menschen krank als gesund sind und so die Chance einen
> gesunden Menschen zu finden, der angesteckt werden kann,
> viel kleiner ist und dadurch die Zahl der kranken Menschen
> nicht mehr so stark zunehmen kann, wie vorher.
> Aber ob das eine ausreichene Begründung ist, weiß ich
> nicht??
Zusätzlich kann auch die Zahl der kranken Menschen zu Anfang nicht so stark zunehmen, weil es nur wenige Krankheitsträger, also Infektionsquellen, gibt. Die Kurve der Krankenanzahl muß also S-förmig sein.
> zu b)
> Die funktion k(t) ist:
>
> [mm]k(t)=\bruch{5000}{1+4999e^{-1,44t}}[/mm]
>
> Die Hälfte der Menschen, also 2500, sind nach k(t)=2500
> krank, also nach ca. 5,91 Wochen.
>
> Dieser Punkt, wie in a) auch schon erwähnt, bedeutet, dass
> die Hälfte der Menschen krank ist und so ab diesem
> Zeitpunkt mehr Leute krank als gesund sind. Die Funktion
> k'(t) hat dort ihren Höhepunkt (??? stimmt das?)..
> Dort ist auch der Wendepunkt (?) und ab da wechselt die
> Funktion von exponentiellem zu log. Wachstum über?
Das kann man so nicht sagen. Der ganze Vorgang ist logistisches Wachstum, in der 1. Hälfte beschleunigt und in der 2. gebremst.
> sicher bin ich mir bei dieser antwort aber überhaupt
> nicht.
> c)
> ich hätte jetzt einfach alle ergebnisse von k(0) bis k(8)
> zusammenaddiert und durch 8 geteilt, da man 8 wochen hat
> und so dann den mittelwert rausbekommt. in der schule hat
> unser lehrer die lösung für diesen teil allerdings schon
> gesagt und meinte man müsse rechnen:
>
> [mm]\bruch{k(8)-k(0)}{8} \approx[/mm] 596
>
> wieos??
Weil du den Durchschnitt der Zunahme ausrechnen sollst und nicht den durchschnittlichen Krankenstand. Du integrierst sozusagen über die Zunahme. (Physikalisches Analogon: Du sollst die durchschnittliche Geschwindigkeit ausrechnen, nicht die durchschnittliche Entfernung vom Startpunkt.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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