lognormalverteilung von S < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Hallo!
Ich suche eine Antwort auf die Frage, warum der Aktienkurs S im Black-Scholes-Modell lognormalverteilt ist bzw. wie man das zeigt.
Ausgehend von der GBB [mm] $dS=\mu [/mm] S dt + [mm] \sigma [/mm] S dW$ und dem Ito-Lemma für [mm] $Y=\log(S)$ [/mm] erhält man (und das hab ich auch verstanden)
[mm] $$Y=Y_0+(\mu-0.5 \sigma^2)t [/mm] + [mm] \sigma [/mm] W.$$
Und das soll angeblich zeigen, dass Y normalverteilt ist, also S lognormalverteilt. Aber warum sieht man daran, dass Y normalverteilt ist? OK, es ist ein deterministischer Term und ein stochastischer. Ist das das Ausschlaggebende für Normalverteilung?
Wer kann mir helfen? Ich bin über jeden Hinweis dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Mi 15.02.2006 | | Autor: | RMartin |
Im Stochastischen Term steht W für Wiener Prozess (anderer Name ist Brownsche Bewegung). Dieser stochastische Prozess ist normalverteilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Do 16.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Danke!
Klaro! Klingt sehr logisch! Damit wär die Frage dann beantwortet, ich kann das aber irgendwie hier nicht abhaken! Wenn das irgendwer für mich tun könnte, wär das super!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Do 16.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
ganz so einfach, wie Martin schreibt, ist das leider nicht, denn der Wiener Prozeß ist nicht einfach normalverteilt.
Sondern:
Die Zuwächse eines Wiener Prozesses sind normalverteilt, d.h. für [mm] $s\geq [/mm] t$:
[mm]W(s)-W(t)\sim \mathcal{N}(0,\wurzel{s-t})[/mm].
Insofern kannst du dann eine Aussage über die Zuwächse des Prozesses [mm] $(Y(t))_{t \geq 0}$ [/mm] treffen.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:55 Do 16.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Aber da ja [mm] $W_0=0$ [/mm] gilt, müsste doch [mm] $W_t=W_t-W_0$ [/mm] immer normalverteilt sein, oder was ist falsch daran?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Do 16.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Polynomy,
klar, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Grüße,
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Ok, danke! 
Damit wär das Thema (für mich) abgehakt!
Vielen Dank für die Hilfe!
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