lok. beschränkt und beschr. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} [/mm] lokal beschränkt.
Zeige, dass f auf [a,b] beschränkt ist.
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Hallo,
wir haben lok. beschränkt folgendermaßen definiert: für jeden Punkt [mm] x\in [/mm] [a,b] [mm] \exists [/mm] Umgebung U von x, so dass f auf U [mm] \cap [/mm] [a,b] beschränkt ist.
Ich weiß allerding garnicht so recht, was ich genau zeigen soll, somit auch nicht wie ich da hinkomme.
Muss man da in irgendeiner Weise mit Kompaktheit agieren? Ich habe ja U, es ist allerdings nicht vorausgesetzt, dass U kompakt ist. Ich kann mich mit der Kompaktheit auch total verrennen, aber ich kann hier ja schlecht zeigen, dass f konvergent ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] lokal beschränkt.
> Zeige, dass f auf [a,b] beschränkt ist.
>
>
> Hallo,
>
> wir haben lok. beschränkt folgendermaßen definiert: für
> jeden Punkt [mm]x\in[/mm] [a,b] [mm]\exists[/mm] Umgebung U von x, so dass f
> auf U [mm]\cap[/mm] [a,b] beschränkt ist.
>
> Ich weiß allerding garnicht so recht, was ich genau zeigen
> soll, somit auch nicht wie ich da hinkomme.
> Muss man da in irgendeiner Weise mit Kompaktheit agieren?
ja!
> Ich habe ja U, es ist allerdings nicht vorausgesetzt, dass
> U kompakt ist. Ich kann mich mit der Kompaktheit auch total
> verrennen...
Machst Du nicht. [mm] $[a,b]\,$ [/mm] ist ja eine kompakte Teilmenge von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Für $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ sei [mm] $U_x$ [/mm] eine offene Umgebung von [mm] $x\,,$ [/mm] so dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $U_x \cap [/mm] [a,b]$ beschränkt ist.
Dann gilt $[a,b] [mm] \subset \bigcup_{x \in [a,b]} U_x$, [/mm] das heißt, dass das System [mm] $\mathcal{F}:=\{U_x: x \in [a,b]\}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $[a,b]$ ist.
Bekommst Du das nun zu Ende gedacht?
(P.S.:
Am Ende:
Beachte, dass für Zahlen [mm] $r_i \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $$\max\{r_i: i \in I\} [/mm] < [mm] \infty\,,$$
[/mm]
sofern [mm] $I\,$ [/mm] eine endliche Menge ist.)
P.P.S.:
Zu zeigen ist:
Es existiert eine Zahl $0 < R < [mm] \infty\,,$ [/mm] so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt:
$$|f(x)| [mm] \le R\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> [mm]\mathcal{F}:=\{U_x: x \in [a,b]\}[/mm]
> eine offene Überdeckung von [mm][a,b][/mm] ist.
>
> Bekommst Du das nun zu Ende gedacht?
>
Jetzt muss ich zu diesem [mm] \mathcal{F} [/mm] eine endliche Teilüberdeckung konstruieren, oder (, so dass f(x) da Teilmenge von ist)? Und da
> (P.S.:
> Am Ende:
> Beachte, dass für Zahlen [mm]r_i \ge 0[/mm] gilt:
> [mm]\max\{r_i: i \in I\} < \infty\,,[/mm]
> sofern [mm]I\,[/mm] eine endliche
> Menge ist.)
>
nimmt f also Maximum und Minimum da an und die sind jeweils im Betrag [mm] <\infty.
[/mm]
Ich hoffe der Weg passt so.
Ich weiß nur nicht wie ich das mit der endlichen Teilüberdeckung formalisieren soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]\mathcal{F}:=\{U_x: x \in [a,b]\}[/mm]
> > eine offene Überdeckung von [mm][a,b][/mm] ist.
> >
> > Bekommst Du das nun zu Ende gedacht?
> >
>
> Jetzt muss ich zu diesem [mm]\mathcal{F}[/mm] eine endliche
> Teilüberdeckung konstruieren, oder (, so dass f(x) da
> Teilmenge von ist)? Und da
> > (P.S.:
> > Am Ende:
> > Beachte, dass für Zahlen [mm]r_i \ge 0[/mm] gilt:
> > [mm]\max\{r_i: i \in I\} < \infty\,,[/mm]
> > sofern [mm]I\,[/mm] eine
> endliche
> > Menge ist.)
> >
>
> nimmt f also Maximum und Minimum da an und die sind jeweils
> im Betrag [mm]<\infty.[/mm]
>
> Ich hoffe der Weg passt so.
naja, so grob hast Du's (vielleicht) verstanden, aber ich denke, ein paar kleine Verständnislücken sind dann vll. noch da:
Der Satz, dass [mm] $f\,$ [/mm] Maximum und Minimum annimmt, ergibt sich nicht so ohne weiteres und ist auch i.a. falsch; ich hoffe, Du meintest eher, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf jeder Menge $U [mm] \cap [/mm] [a,b]$ mit einer Umgebung $U [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] nach oben und unten beschränkt ist und man damit dann insgesamt eine obere und untere Schranke für [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] konstruieren kann; beachte: Der Satz, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf einem Kompaktum Maximum und Minimum annimmt, setzt voraus, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist! Unser [mm] $f\,$ [/mm] oben kann alles andere als stetig sein... Also eigentlich befürchte ich nach dieser etwas länglichen Analyse Deiner Aussage, dass Du da vielleicht doch noch etwas ganz falsch oder missverstanden hast...
Und Du musst oben auch nichts konstruieren, sondern nur die Existenz einer solchen endlichen Teilüberdeckung benutzen, welche sich aus der Kompaktheit von [mm] $[a,b]\,$ [/mm] ergibt. Es sei denn, Dir/Euch ist nicht bekannt, dass [mm] $[a,b]\,$ [/mm] ein kompaktes Intervall bzgl. [mm] $(\IR,\,d_{|.|})$ [/mm] ist, wobei [mm] $d_{|.|}$ [/mm] die vom Betrag induzierte Metrik ist?
> Ich weiß nur nicht wie ich das mit der endlichen
> Teilüberdeckung formalisieren soll.
Ich schreib's Dir mal hin, wie's weitergeht:
[mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist ja eine offene Überdeckung des Kompaktums [mm] $\,[a,b]$ [/mm] (ist Dir das klar?). Weil [mm] $[a,b]\,$ [/mm] kompakt ist, enthält [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es gibt eine Zahl $N [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so dass es [mm] $U_1,\,\ldots,\,U_N \in \mathcal{F}$ [/mm] gibt, die folgendes erfüllen:
$$[a,b] [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_j\,.$$
[/mm]
Zudem gilt wegen der Definition von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] und weil [mm] $\{U_1,\ldots,\,U_n\} \subseteq \mathcal{F}$ [/mm] gilt, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf jeder Menge [mm] $U_j \cap [/mm] [a,b]$ beschränkt ist (für jedes beliebige $j [mm] \in \{1,\,\ldots,\,N\}$). [/mm] Das heißt:
Für jedes $j [mm] \in \{1,\,\ldots,\,N\}$ [/mm] existiert eine Zahl [mm] $b_j [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass $|f(x)| [mm] \le b_j$ [/mm] für alle $x [mm] \in U_j \cap [/mm] [a,b]$ gilt.
Setze nun [mm] $B:=\max\{b_1,\,\ldots,\,b_N\}\,.$ [/mm] Dann ist $0 [mm] \le [/mm] B < [mm] \infty$ [/mm] (Warum?). Kannst Du nun noch in einem letzten Satz begründen, warum somit folgt, dass für ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ dann $|f(x)| [mm] \le [/mm] B$ folgt?
Gruß,
Marcel
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> (...) befürchte ich nach dieser etwas länglichen
> Analyse Deiner Aussage, dass Du da vielleicht doch noch
> etwas ganz falsch oder missverstanden hast...
Damit hast du sehr wahrscheinlich recht. Das Thema ist auch noch ganz neu für mich.
> Und Du musst oben auch nichts konstruieren, sondern nur die
> Existenz einer solchen endlichen Teilüberdeckung benutzen,
> welche sich aus der Kompaktheit von [mm][a,b]\,[/mm] ergibt. Es sei
> denn, Dir/Euch ist nicht bekannt, dass [mm][a,b]\,[/mm] ein
> kompaktes Intervall bzgl. [mm](\IR,\,d_{|.|})[/mm] ist, wobei
> [mm]d_{|.|}[/mm] die vom Betrag induzierte Metrik ist?
Ich würde sagen, da [a,b] abgeschlossen und beschränkt, ist es kompakt.
> Ich schreib's Dir mal hin, wie's weitergeht:
> [mm]\mathcal{F}[/mm] ist ja eine offene Überdeckung des Kompaktums
> [mm]\,[a,b][/mm] (ist Dir das klar?).
Weil jedes [mm] x\in [/mm] [a,b] auch in [mm] U_x [/mm] ist?
> Weil [mm][a,b]\,[/mm] kompakt ist,
> enthält [mm]\mathcal{F}[/mm] eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es
> gibt eine Zahl [mm]N \in \IN\,,[/mm] so dass es [mm]U_1,\,\ldots,\,U_N \in \mathcal{F}[/mm]
> gibt, die folgendes erfüllen:
> [mm][a,b] \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_j\,.[/mm]
> Setze nun [mm]B:=\max\{b_1,\,\ldots,\,b_N\}\,.[/mm] Dann ist [mm]0 \le B < \infty[/mm]
> (Warum?)
Warum ist diese Menge nach oben beschränkt?
> Kannst Du nun noch in einem letzten Satz
> begründen, warum somit folgt, dass für ein beliebiges [mm]x \in [a,b][/mm]
> dann [mm]|f(x)| \le B[/mm] folgt?
Naja weil |f(x)| sowieso [mm] \leq b_j [/mm] ist und [mm] b_j\in [/mm] B ist und B [mm] <\infty [/mm] ist.
Kann man das so sagen?
Auf jeden Fall schonmal danke für die ganzen ausführlichen Erklärungen und sorry, dass ich einiges nicht so schnell verstehe.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (...) befürchte ich nach dieser etwas länglichen
> > Analyse Deiner Aussage, dass Du da vielleicht doch noch
> > etwas ganz falsch oder missverstanden hast...
>
> Damit hast du sehr wahrscheinlich recht. Das Thema ist auch
> noch ganz neu für mich.
>
> > Und Du musst oben auch nichts konstruieren, sondern nur die
> > Existenz einer solchen endlichen Teilüberdeckung benutzen,
> > welche sich aus der Kompaktheit von [mm][a,b]\,[/mm] ergibt. Es sei
> > denn, Dir/Euch ist nicht bekannt, dass [mm][a,b]\,[/mm] ein
> > kompaktes Intervall bzgl. [mm](\IR,\,d_{|.|})[/mm] ist, wobei
> > [mm]d_{|.|}[/mm] die vom Betrag induzierte Metrik ist?
>
> Ich würde sagen, da [a,b] abgeschlossen und beschränkt, ist
> es kompakt.
ja, das ist (im [mm] $\IK^n$ [/mm] mit euklidischer Metrik jedenfalls sicherlich) eine Charakterisierung der Kompaktheit.
> > Ich schreib's Dir mal hin, wie's weitergeht:
> > [mm]\mathcal{F}[/mm] ist ja eine offene Überdeckung des
> Kompaktums
> > [mm]\,[a,b][/mm] (ist Dir das klar?).
>
> Weil jedes [mm]x\in[/mm] [a,b] auch in [mm]U_x[/mm] ist?
Vermutlich meinst Du das richtige, es war:
[mm] $$\mathcal{F}=\{U_x: x \in [a,b]\}\,,$$
[/mm]
wobei die, offenen, Mengen [mm] $U_x$ [/mm] so gewählt waren, dass $x [mm] \in U_x$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] auf $[a,b] [mm] \cap U_x$ [/mm] beschränkt war. Dass solche [mm] $U_x$ [/mm] existieren, folgte aus der Lokalbeschränktheit.
Daher gilt:
$$x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in U_x \subset \bigcup_{y \in [a,b]} U_y=\bigcup_{F \in \mathcal{F}}F\,,$$
[/mm]
also $x [mm] \in \bigcup_{F \in \mathcal{F}}F\,.$ [/mm] Da $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ beliebig war, wird [mm] $[a,b]\,$ [/mm] von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] überdeckt. Und dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] nur offene Mengen enthält, steht oben, also ist [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $[a,b]\,.$
[/mm]
> > Weil [mm][a,b]\,[/mm] kompakt ist,
> > enthält [mm]\mathcal{F}[/mm] eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es
> > gibt eine Zahl [mm]N \in \IN\,,[/mm] so dass es [mm]U_1,\,\ldots,\,U_N \in \mathcal{F}[/mm]
> > gibt, die folgendes erfüllen:
> > [mm][a,b] \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_j\,.[/mm]
>
>
> > Setze nun [mm]B:=\max\{b_1,\,\ldots,\,b_N\}\,.[/mm] Dann ist [mm]0 \le B < \infty[/mm]
> > (Warum?)
>
> Warum ist diese Menge nach oben beschränkt?
Also [mm] $B\,$ [/mm] ist hier keine Menge. Ich betrachte die Menge [mm] $M:=\{b_1,\,\ldots,\,b_N\}\,.$ [/mm] Diese Menge [mm] $M\,$ [/mm] besteht aus endlich vielen (reellen) Zahlen [mm] ($\ge [/mm] 0$). Also: Warum ist diese Menge - also die Menge [mm] $M=\{b_1,\,\ldots,\,b_N\}$ [/mm] - nun beschränkt? Kannst Du das selbst beantworten? (Wenn nicht, es steht auch unten nochmal... versuche es aber am besten, wenn Du die Antwort liest, hier erstmal selbst!)
> > Kannst Du nun noch in einem letzten Satz
> > begründen, warum somit folgt, dass für ein beliebiges [mm]x \in [a,b][/mm]
> > dann [mm]|f(x)| \le B[/mm] folgt?
>
> Naja weil |f(x)| sowieso [mm]\leq b_j[/mm] ist und [mm]b_j\in[/mm] B
Das macht keinen Sinn. Vermutlich meinst Du: [mm] $b_j \in [/mm] M$ mit der nun oben speziell definierten Menge [mm] $M\,.$ [/mm] Bitte beachte: [mm] $B:=\max M\,,$ [/mm] das heißt, die (reelle) Zahl [mm] $B\,$ ($\ge [/mm] 0$) ist das Maximum der Menge [mm] $M\,$; [/mm] irgendwie wirfst Du hier eine Menge und das Maximum der Menge durcheinander!
> ist und
> B [mm]<\infty[/mm] ist.
> Kann man das so sagen?
Nein (denn die [mm] $b_j$ [/mm] sind kein Element der Zahl [mm] $B\,,$ [/mm] sondern Elemente der Menge [mm] $M\,$...), [/mm] aber das kann jetzt auch alles aus dem obigen Missverständnis resultieren, dass Du die Zahl [mm] $B\,,$ [/mm] welche das Maximum der Menge [mm] $M\,$ [/mm] bezeichnet, mit der Menge [mm] $M\,$ [/mm] manchmal gleichsetzt und dann an anderer Stelle mit [mm] $B\,$ [/mm] eigentlich wieder das Maximum von [mm] $M\,$ [/mm] meinst etc.. Achte bitte präzise darauf, welche Bezeichnung auch wirklich was bezeichnet.
Hier mal die Argumentation:
Da die [mm] $U_j$ ($j=1,\,\ldots,\,N$) $[a,b]\,$ [/mm] überdecken, gilt also $[a,b] [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_j\,.$
[/mm]
Ist $x [mm] \in [a,b]\,,$ [/mm] so existiert also ein $k [mm] \in \{1,\,\ldots,\,N\}$ [/mm] mit $x [mm] \in U_k\,.$ [/mm] Es gilt daher $x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \cap U_k\,.$ [/mm] Dann folgt aber $|f(x)| [mm] \le b_k\,.$ [/mm] Und wegen [mm] $b_k \le [/mm] B$ folgt somit $|f(x)| [mm] \le B\,.$ [/mm] Also gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$, dass $|f(x)| [mm] \le B\,.$
[/mm]
Ergänzend:
Weil [mm] $M\,$ [/mm] eine endliche Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist, hat [mm] $M\,$ [/mm] ein Maximum. Somit gilt [mm] $\max [/mm] M [mm] \in M\$(wobei [/mm] insb. $M [mm] \subset \IR)\,,$ [/mm] insbesondere ist somit $0 [mm] \le \max [/mm] M < [mm] \infty\,$ [/mm] (es gilt $0 [mm] \le \max M\,,$ [/mm] weil [mm] $M\,$ [/mm] mindestens eine reelle Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ enthält). Und oben war $B:= [mm] \max M\,.$
[/mm]
> Auf jeden Fall schonmal danke für die ganzen ausführlichen
> Erklärungen und sorry, dass ich einiges nicht so schnell
> verstehe.
Das macht nichts, manches versteht man erst, wenn man sich eine Zeit lang mit einigen Übungsaufgaben und/oder deren Lösungen beschäftigt hat wirklich bzw. besser. Wichtig ist halt, sich selbst klarzumachen, was man alles versteht und bei den Stellen, wo man etwas nicht versteht, nochmal nachzufragen und dann zu versuchen, die Lösung nochmal selbstständig zusammenzuschreiben. Dabei merkst Du dann auch selber nochmal, wo doch noch Unklarheiten sind oder wo Du Argumente nicht ganz nachvollziehen kannst etc... also die Stellen, wo noch Klärungsbedarf besteht, werden Dir dann selbst ins Auge springen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 21.05.2009 | | Autor: | Blech |
Hmm, hatte die andere Antwort nicht gesehen.
Also noch einen Tip: =)
Das mächtige an der Definition der Kompaktheit ist, daß bei der resultierenden endlichen Überdeckung Maxima, bzw. Minima existieren (weil man eben nur noch eine endliche Vereinigung hat)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab ja auch nicht bezweifelt, daß es bei Dir auch
> steht. Nur daß es den ihm gebührenden Platz erhalten hat
> =)
>
> Die Tatsache, daß man endliche Überdeckungen erhält und
> endliche Mengen ihre Extremwerte auch annehmen ist die
> wichtigste Kompaktheitseigenschaft (Gegenstimmen? =).
nein, das eine ist ja gerade die Definition (bzw. je nachdem, wie man Kompaktheit kennengelernt hat, eine Charakterisierung dieser), und endliche Mengen sind ja meist sehr umgänglich (natürlich nur unter Beachtung der Eigenschaft, an der man interessiert ist; aber oben sind sie's jedenfalls) 
> ciao
> Stefan
>
> P.S.: Hat schon jemand die Sache mit endlichen
> Überdeckungen und Maxima erwähnt? =P
Ja Du, gerade Aber ich hoffe mal, dass T_sleeper mittlerweile eh schon die Lösung zu Ende erarbeitet hat. Wenn nicht:
Nun stehen wirklich alle Stichpunkte hier, mit denen man die Lösung hinschreiben kann
P.S.: Schönen Feiertag 
Gruß,
Marcel
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