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Hi,
folgende Aufgabe sollte ich lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber irgendwie blicke ich da gar nicht durch!
Ich habe mir einige Graphen zeichnen lassen, und habe eigentlich immer festgestellt, dass es ein minimum gibt (zumindest bei [mm] $h_{1}$ [/mm] wenn die ursprünglichen auch ein minimum hatten. Daher glaube ich, dass es stimmt. Nur weiss ich nicht wie ich das zeigen könnte.
Derzeit habe ich mir folgendes überlegt:
Hätte [mm] $h_{1}$ [/mm] ein Extremum, so müsste [mm] $h_{1}'=0$ [/mm] sein (in (a,b)). Aber alles was ich über [mm] $h_{1}'$ [/mm] weiss ist ja, das [mm] $h_{1}'=f'+g'$ [/mm] ist, und f' im Intervall (a,b) stets >0 und g' stets <0. Nur hilft mir das auch nicht wirklich weiter.
Hat irgendwer irgendwelche Vorschläge und könnte mir helfen?
mfg,
der unwissende Martin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 08.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Plantronics
ich glaube, du machst es dir ein Bisschen zu einfach. Wie hast du dir das denn zum Beispiel zeichnen lassen? x ist ja ein m-Tupel, und y ein n-Tupel. Es sind ja Elemente eines m-dimensionalen respektive n-dimensionalen Raumes.
Ich denke, du solltest eher über die Definition von strengem Minimum resp. Maximum gehen:
f hat an der Stelle a ein strenges Minimum wenn gilt:
[mm] $f(a+\Delta [/mm] a) > f(a)$ für alle [mm] $\Delta [/mm] a [mm] \not [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
Das könnte man auch so schreiben:
[mm] $f(a+\Delta [/mm] a) = f(a) + [mm] \epsilon_f$ [/mm] für alle [mm] $\Delta [/mm] a [mm] \not [/mm] = [mm] \vec{0}$, [/mm]
Oder g hat an der Stelle g ein strenges Minimum wenn gilt:
[mm] $g(b+\Delta [/mm] b) > g(b)$ für alle [mm] $\Delta [/mm] b [mm] \not [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] resp.
[mm] $g(b+\Delta [/mm] b) = g(b) + [mm] \epsilon_g$ [/mm] für alle [mm] $\Delta [/mm] b [mm] \not [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
Wobei wie allgemein üblich noch vorausgesetzt wird, dass die beiden Epsilon streng grösser als Null sind.
(Beachte, dass in der 1. Gleichung der Nullvektor des m-dimensionalen Raumes gemeint ist, für die 2. Gleichung aber jener des n-dimensionalen Raumes)
Für [mm] $h_1$ [/mm] gilt zum Beispiel:
[mm] $h_1(a+\Delta a,b+\Delta [/mm] b)=$
[mm] $f(a+\Delta a)+g(b+\Delta [/mm] b)=$
[mm] $f(a)+\epsilon_f+g(b) [/mm] + [mm] \epsilon_g [/mm] > f(a)+g(b)$
Damit ist gezeigt, dass, falls f in a und g in b je ein strenges Minimum haben, [mm] $h_1$ [/mm] in (a,b) auch eines hat.
Für [mm] $h_2$ [/mm] sähe das dann etwa so aus:
[mm] $h_2(a+\Delta a,b+\Delta [/mm] b)=$
[mm] $f(a+\Delta a)*g(b+\Delta [/mm] b)=$
[mm] $(f(a)+\epsilon_f)*(g(b) [/mm] + [mm] \epsilon_g)=$
[/mm]
[mm] $f(a)*g(b)+\epsilon_g*f(a)+\epsilon_f*g(b)+\epsilon_f*\epsilon_g$
[/mm]
Hier musst du Fallunterscheidungen machen. Wenn f und g positiv sind (je an der Stelle a resp. b), dann hat auch [mm] $h_2$ [/mm] ein strenges Minimum (an der Stelle (a,b)). Wenn aber f(a) und g(b) negativ sind, dann liegt bei [mm] $h_2(a,b)$ [/mm] ein strenges Maximum vor. Haben die beiden Funktionen aber unterschiedliche Vorzeichen, dann liegt eher so etwas in der Art eines Sattelpunktes vor, wenngleich der etwas schwer vorzustellen ist, wenn m und n grösser als 1 sind!
Falls f(a) oder g(b) Null sind, musst du wohl noch eine gesonderte Betrachtung anstellen.
Kannst du die Aufgabe jetzt selber weiter bearbeiten?
Mit lieben Grüssen
Paul
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