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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] \IR^2 \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \mapsto (4x^2+y^2) \cdot e^{-(x^2+4y^2)}
[/mm]
a) Berechnen Sie f' und f''
b) Berechnen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und geben Sie an, von welchem Typ (Maximum bzw. Minimum) diese sind. (Begründung!) |
Hallo Leute, hänge bei dieser Aufgabe an dem Teil wo ich die erste Ableitung=0 setze um Kandidaten für Extremstellen herauszufinden...
Mein Lösungsweg bisher:
a) f'(x,y) = [mm] e^{-x^2-4y^2} \cdot (-8x^3-2xy^2+8x [/mm] , [mm] -8y^3-32x^2y+2y)
[/mm]
f''(x,y)= [mm] e^{-x^2-4y^2} \cdot \pmat{ 16x^4-40x^2+4x^2y^2-2y^2+8 , & 64x^3y+16xy^3-68xy \\ 64x^3y+16xy^3-68xy , & 64y^4+256x^2y^2-32x^2-40y^2+2 }
[/mm]
b) lokale Extrema finden:
I. [mm] -8x^3-2xy^2+8x=0 \gdw -4x^3-xy^2+4x=0
[/mm]
II: [mm] -8y^3-32x^2y+2y=0 \gdw -4y^3-16x^2y+y=0
[/mm]
Mein nächster Schritt war nun x und y auszuklammern:
[mm] \gdw [/mm] I. [mm] x\cdot(-4x^2-y^2+4)=0 \Rightarrow [/mm] x=0 v [mm] -4x^2-y^2+4=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] II. [mm] y\cdot(-4y^2-16x^2+1)=0 \Rightarrow [/mm] y=0 v [mm] -4y^2-16x^2+1=0
[/mm]
Mein 1.Kandidat wäre somit [mm] P_{1}(0/0)
[/mm]
Mein Problem ist jetzt aber wie löse ich [mm] -4x^2-y^2+4=0 [/mm] und [mm] -4y^2-16x^2+1=0 [/mm] ? 4mal die I.Gleichung - II.Gleichung ergibt leider 15=0 was unwahr ist...
f''(0,0)= [mm] \pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
1.HAD: det(8)=8>0
2.HAD: [mm] det\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }= [/mm] 16>0
[mm] \rightarrow [/mm] positiv definit, also liegt im [mm] P_{1}(0/0) [/mm] ein lokales Minimum.
Es gibt doch hier bestimmt weitere Kandidaten für Extrema, ich bekomme leider nur nicht die Gleichung oben aufgelöst, hat jemand einen Tipp für mich?
Gruß
schwenker
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> Gegeben sei die Funktion
> f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto (4x^2+y^2) \cdot e^{-(x^2+4y^2)}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie f' und f''
> b) Berechnen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und
> geben Sie an, von welchem Typ (Maximum bzw. Minimum) diese
> sind. (Begründung!)
> Hallo Leute, hänge bei dieser Aufgabe an dem Teil wo ich
> die erste Ableitung=0 setze um Kandidaten für
> Extremstellen herauszufinden...
>
> Mein Lösungsweg bisher:
>
> a) f'(x,y) = [mm]e^{-x^2-4y^2} \cdot (-8x^3-2xy^2+8x[/mm] ,
> [mm]-8y^3-32x^2y+2y)[/mm]
> f''(x,y)= [mm]e^{-x^2-4y^2} \cdot \pmat{ 16x^4-40x^2+4x^2y^2-2y^2+8 , & 64x^3y+16xy^3-68xy \\ 64x^3y+16xy^3-68xy , & 64y^4+256x^2y^2-32x^2-40y^2+2 }[/mm]
>
> b) lokale Extrema finden:
> I. [mm]-8x^3-2xy^2+8x=0 \gdw -4x^3-xy^2+4x=0[/mm]
> II:
> [mm]-8y^3-32x^2y+2y=0 \gdw -4y^3-16x^2y+y=0[/mm]
> Mein
> nächster Schritt war nun x und y auszuklammern:
> [mm]\gdw[/mm] I. [mm]x\cdot(-4x^2-y^2+4)=0 \Rightarrow[/mm] x=0 v
> [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] II. [mm]y\cdot(-4y^2-16x^2+1)=0 \Rightarrow[/mm] y=0 v
> [mm]-4y^2-16x^2+1=0[/mm]
>
> Mein 1.Kandidat wäre somit [mm]P_{1}(0/0)[/mm]
> Mein Problem ist jetzt aber wie löse ich [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm]
> und [mm]-4y^2-16x^2+1=0[/mm] ? 4mal die I.Gleichung - II.Gleichung
> ergibt leider 15=0 was unwahr ist...
>
> f''(0,0)= [mm]\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
> 1.HAD: det(8)=8>0
> 2.HAD: [mm]det\pmat{ 8 & 0 \\ 0 & 2 }=[/mm] 16>0
> [mm]\rightarrow[/mm] positiv definit, also liegt im [mm]P_{1}(0/0)[/mm] ein
> lokales Minimum.
>
> Es gibt doch hier bestimmt weitere Kandidaten für Extrema,
> ich bekomme leider nur nicht die Gleichung oben aufgelöst,
> hat jemand einen Tipp für mich?
>
> Gruß
> schwenker
Hallo schwenker,
du hast festgestellt, dass
1.) die Möglichkeit x=0 [mm] \wedge [/mm] y=0 in Frage kommt
2.) die Möglichkeit [mm]-4x^2-y^2+4=0\ \wedge\ -4y^2-16x^2+1=0[/mm]
nicht in Frage kommt
Dies sind aber noch nicht alle Kombinationen, die du
prüfen solltest !
[mm] (A\vee{B})\wedge(C\vee{D}) [/mm] ist nicht äquivalent mit
[mm] (A\wedge{C})\vee(B\wedge{D})
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi, danke für deine schnelle Antwort. Ich weiss leider nicht so recht wie ich mit deinem Tipp hier weitermachen soll.
> Hallo schwenker,
>
> du hast festgestellt, dass
>
> 1.) die Möglichkeit x=0 [mm]\wedge[/mm] y=0 in Frage kommt
>
> 2.) die Möglichkeit [mm]-4x^2-y^2+4=0\ \wedge\ -4y^2-16x^2+1=0[/mm]
>
> nicht in Frage kommt
>
> Dies sind aber noch nicht alle Kombinationen, die du
> prüfen solltest !
>
> [mm](A\vee{B})\wedge(C\vee{D})[/mm] ist nicht äquivalent mit
>
> [mm](A\wedge{C})\vee(B\wedge{D})[/mm]
>
> LG Al-Chw.
>
>
> 2.) die Möglichkeit [mm]-4x^2-y^2+4=0\ \wedge\ -4y^2-16x^2+1=0[/mm]
Da diese 2.Möglichkeit nicht in Frage kommt versuche ich nur [mm] -4x^2-y^2+4=0 [/mm] nach x aufzulösen.
dabei erhalte ich:
[mm] x^2=-\bruch{1}{4}y^2+1 [/mm] aber hier stocke ich nun da ich ja nicht aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann...
Gruß schwenker
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> Hallo Al-Chwarizmi, danke für deine schnelle Antwort. Ich
> weiss leider nicht so recht wie ich mit deinem Tipp hier
> weitermachen soll.
>
>
>
> > Hallo schwenker,
> >
> > du hast festgestellt, dass
> >
> > 1.) die Möglichkeit x=0 [mm]\wedge[/mm] y=0 in Frage kommt
> >
> > 2.) die Möglichkeit [mm]-4x^2-y^2+4=0\ \wedge\ -4y^2-16x^2+1=0[/mm]
> > nicht in Frage kommt
> >
> > Dies sind aber noch nicht alle Kombinationen, die du
> > prüfen solltest !
> >
> > [mm](A\vee{B})\wedge(C\vee{D})[/mm] ist nicht äquivalent mit
> >
> > [mm](A\wedge{C})\vee(B\wedge{D})[/mm]
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> >
> > 2.) die Möglichkeit [mm]-4x^2-y^2+4=0\ \wedge\ -4y^2-16x^2+1=0[/mm]
>
> Da diese 2.Möglichkeit nicht in Frage kommt versuche ich
> nur [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm] nach x aufzulösen.
>
> dabei erhalte ich:
> [mm]x^2=-\bruch{1}{4}y^2+1[/mm] aber hier stocke ich nun da ich ja
> nicht aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann...
>
> Gruß schwenker
>
Es gäbe neben den zwei schon betrachteten Möglichkeiten
[mm] (A\wedge{C}) [/mm] , [mm] (B\wedge{D})
[/mm]
doch noch die weiteren beiden:
[mm] (A\wedge{D}) [/mm] , [mm] (B\wedge{C})
[/mm]
(welche Gleichungen ich mit A,B,C,D abgekürzt habe,
hast du doch gemerkt, oder ?)
LG Al-Chw.
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> (welche Gleichungen ich mit A,B,C,D abgekürzt habe,
> hast du doch gemerkt, oder ?)
>
>
> LG Al-Chw.
>
>
>
Ohje ich stand bei deiner ersten Antwort wohl etwas auf dem Schlauch...
also jetzt sieht meine Lösung aus:
als ersten Punkt hab ich ja x=0 raus, diesen setze ich in [mm] -4^2-16x^2+1=0 [/mm] ein. Ergebnis [mm] y=\bruch{1}{2} [/mm] v [mm] y=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Also zwei neue Kandidaten: [mm] P_{2}(0,\bruch{1}{2}), P_{3}(0,-\bruch{1}{2})
[/mm]
y=0 setze ich in [mm] -4x^2-y^2+4=0 [/mm] ein. Ergebnis x=1 v x=-1
Zwei neue Kandidaten: [mm] P_{4}(1,0), P_{5}(-1,0) [/mm]
Diese 5 Punkte setze ich in f''(x,y) ein.
Bei [mm] P_{1}(0/0) [/mm] hab ich wie oben gezeigt ein lokales Minimum.
[mm] P_{2}: f''(0,\bruch{1}{2}) =\pmat{ 7,5 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
1.HAD det(7,5)>0
2.HAD -30<0
[mm] \Rightarrow [/mm] indefinit, es liegt hier kein Extremum vor
[mm] P_{3}: f''(0,-\bruch{1}{2}) [/mm] analog zu [mm] P_{2} \rightarrow [/mm] kein Extremum
[mm] P_{4}: [/mm] f''(1,0) [mm] =\pmat{ -16 & 0 \\ 0 & -30 }
[/mm]
1.HAD: det(-16)= -16<0
2.HAD: 480>0
[mm] \rightarrow [/mm] negativ definit, also liegt im Punkt [mm] P_{4}(1,0) [/mm] ein lokales Maximum vor.
[mm] P_{5}: [/mm] f''(-1,0) analog zu [mm] P_{4} \rightarrow [/mm] lokales Maximum
Zusammengefasst:
[mm] P_{1}(0,0): [/mm] lokales Minimum
[mm] P_{4}(1,0) [/mm] und [mm] P_{5}(-1,0): [/mm] lokales Maximum
Sieht doch ganz gut aus, oder hab ich noch wo nen Fehler drin?
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
schwenker
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Hallo schwenker,
> >
> > (welche Gleichungen ich mit A,B,C,D abgekürzt habe,
> > hast du doch gemerkt, oder ?)
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> >
> >
> Ohje ich stand bei deiner ersten Antwort wohl etwas auf dem
> Schlauch...
> also jetzt sieht meine Lösung aus:
> als ersten Punkt hab ich ja x=0 raus, diesen setze ich in
> [mm]-4^2-16x^2+1=0[/mm] ein. Ergebnis [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm] v
> [mm]y=-\bruch{1}{2}[/mm]
> Also zwei neue Kandidaten: [mm]P_{2}(0,\bruch{1}{2}), P_{3}(0,-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> y=0 setze ich in [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm] ein. Ergebnis x=1 v x=-1
> Zwei neue Kandidaten: [mm]P_{4}(1,0), P_{5}(-1,0)[/mm]
>
> Diese 5 Punkte setze ich in f''(x,y) ein.
> Bei [mm]P_{1}(0/0)[/mm] hab ich wie oben gezeigt ein lokales
> Minimum.
>
> [mm]P_{2}: f''(0,\bruch{1}{2}) =\pmat{ 7,5 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>
> 1.HAD det(7,5)>0
> 2.HAD -30<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit, es liegt hier kein Extremum vor
>
> [mm]P_{3}: f''(0,-\bruch{1}{2})[/mm] analog zu [mm]P_{2} \rightarrow[/mm]
> kein Extremum
>
> [mm]P_{4}:[/mm] f''(1,0) [mm]=\pmat{ -16 & 0 \\ 0 & -30 }[/mm]
> 1.HAD:
> det(-16)= -16<0
> 2.HAD: 480>0
> [mm]\rightarrow[/mm] negativ definit, also liegt im Punkt
> [mm]P_{4}(1,0)[/mm] ein lokales Maximum vor.
>
> [mm]P_{5}:[/mm] f''(-1,0) analog zu [mm]P_{4} \rightarrow[/mm] lokales
> Maximum
>
> Zusammengefasst:
> [mm]P_{1}(0,0):[/mm] lokales Minimum
> [mm]P_{4}(1,0)[/mm] und [mm]P_{5}(-1,0):[/mm] lokales Maximum
>
> Sieht doch ganz gut aus, oder hab ich noch wo nen Fehler
> drin?
Fehler ist da keiner drin.
Überlege Dir, welche Art Punkte [mm]P_{2}, \ P_{3}[/mm] das sind,
wenn die zugehörige Hessematrix indefinit ist.
> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Gruß
> schwenker
Gruss
MathePower
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> Fehler ist da keiner drin.
>
> Überlege Dir, welche Art Punkte [mm]P_{2}, P_{3}[/mm] das sind,
> wenn die zugehörige Hessematrix indefinit ist.
>
>
> > Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
> >
> > Gruß
> > schwenker
>
>
> Gruss
> MathePower
Die Punkte [mm] P_{2}, P_{3} [/mm] sind wegen Indefinitheit der zugehörigen Hessematrix Sattelpunkte.
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Hallo schwenker,
> > Fehler ist da keiner drin.
> >
> > Überlege Dir, welche Art Punkte [mm]P_{2}, P_{3}[/mm] das sind,
> > wenn die zugehörige Hessematrix indefinit ist.
> >
> >
> > > Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
> > >
> > > Gruß
> > > schwenker
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Die Punkte [mm]P_{2}, P_{3}[/mm] sind wegen Indefinitheit der
> zugehörigen Hessematrix Sattelpunkte.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Do 10.02.2011 | | Autor: | schwenker |
Super! Vielen Dank Al-Chwarizmi und Mathepower! :)
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> > (welche Gleichungen ich mit A,B,C,D abgekürzt habe,
> > hast du doch gemerkt, oder ?)
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> >
> Ohje ich stand bei deiner ersten Antwort wohl etwas auf dem
> Schlauch...
> also jetzt sieht meine Lösung aus:
> als ersten Punkt hab ich ja x=0 raus, diesen setze ich in
> [mm]-4^2-16x^2+1=0[/mm] ein. Ergebnis [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm] v
> [mm]y=-\bruch{1}{2}[/mm]
> Also zwei neue Kandidaten: [mm]P_{2}(0,\bruch{1}{2}), P_{3}(0,-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> y=0 setze ich in [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm] ein. Ergebnis x=1 v x=-1
> Zwei neue Kandidaten: [mm]P_{4}(1,0), P_{5}(-1,0)[/mm]
>
> Diese 5 Punkte setze ich in f''(x,y) ein.
> Bei [mm]P_{1}(0/0)[/mm] hab ich wie oben gezeigt ein lokales
> Minimum.
>
> [mm]P_{2}: f''(0,\bruch{1}{2}) =\pmat{ 7,5 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>
> 1.HAD det(7,5)>0
> 2.HAD -30<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit, es liegt hier kein Extremum vor
>
> [mm]P_{3}: f''(0,-\bruch{1}{2})[/mm] analog zu [mm]P_{2} \rightarrow[/mm]
> kein Extremum
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> [mm]P_{4}:[/mm] f''(1,0) [mm]=\pmat{ -16 & 0 \\ 0 & -30 }[/mm]
> 1.HAD:
> det(-16)= -16<0
> 2.HAD: 480>0
> [mm]\rightarrow[/mm] negativ definit, also liegt im Punkt
> [mm]P_{4}(1,0)[/mm] ein lokales Maximum vor.
>
> [mm]P_{5}:[/mm] f''(-1,0) analog zu [mm]P_{4} \rightarrow[/mm] lokales
> Maximum
>
> Zusammengefasst:
> [mm]P_{1}(0,0):[/mm] lokales Minimum
> [mm]P_{4}(1,0)[/mm] und [mm]P_{5}(-1,0):[/mm] lokales Maximum
>
> Sieht doch ganz gut aus, oder hab ich noch wo nen Fehler
> drin?
> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Gruß
> schwenker
Guten Morgen,
zur Kontrolle: ![[]](/images/popup.gif) guck da !
(erinnert an gewisse natürliche Formationen ...)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > (welche Gleichungen ich mit A,B,C,D abgekürzt habe,
> > > hast du doch gemerkt, oder ?)
> > >
> > > LG Al-Chw.
> > >
> > >
> > Ohje ich stand bei deiner ersten Antwort wohl etwas auf dem
> > Schlauch...
> > also jetzt sieht meine Lösung aus:
> > als ersten Punkt hab ich ja x=0 raus, diesen setze ich in
> > [mm]-4^2-16x^2+1=0[/mm] ein. Ergebnis [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm] v
> > [mm]y=-\bruch{1}{2}[/mm]
> > Also zwei neue Kandidaten: [mm]P_{2}(0,\bruch{1}{2}), P_{3}(0,-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> >
> > y=0 setze ich in [mm]-4x^2-y^2+4=0[/mm] ein. Ergebnis x=1 v x=-1
> > Zwei neue Kandidaten: [mm]P_{4}(1,0), P_{5}(-1,0)[/mm]
> >
> > Diese 5 Punkte setze ich in f''(x,y) ein.
> > Bei [mm]P_{1}(0/0)[/mm] hab ich wie oben gezeigt ein lokales
> > Minimum.
> >
> > [mm]P_{2}: f''(0,\bruch{1}{2}) =\pmat{ 7,5 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
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> >
> > 1.HAD det(7,5)>0
> > 2.HAD -30<0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] indefinit, es liegt hier kein Extremum vor
> >
> > [mm]P_{3}: f''(0,-\bruch{1}{2})[/mm] analog zu [mm]P_{2} \rightarrow[/mm]
> > kein Extremum
> >
> > [mm]P_{4}:[/mm] f''(1,0) [mm]=\pmat{ -16 & 0 \\ 0 & -30 }[/mm]
> > 1.HAD:
> > det(-16)= -16<0
> > 2.HAD: 480>0
> > [mm]\rightarrow[/mm] negativ definit, also liegt im Punkt
> > [mm]P_{4}(1,0)[/mm] ein lokales Maximum vor.
> >
> > [mm]P_{5}:[/mm] f''(-1,0) analog zu [mm]P_{4} \rightarrow[/mm] lokales
> > Maximum
> >
> > Zusammengefasst:
> > [mm]P_{1}(0,0):[/mm] lokales Minimum
> > [mm]P_{4}(1,0)[/mm] und [mm]P_{5}(-1,0):[/mm] lokales Maximum
> >
> > Sieht doch ganz gut aus, oder hab ich noch wo nen Fehler
> > drin?
> > Nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
> >
> > Gruß
> > schwenker
>
>
> Guten Morgen,
>
> zur Kontrolle:
> guck da !
>
> (erinnert an gewisse natürliche Formationen ...)
Hallo Al,
wenn das Alice Schwarzer liest .....
FRED
>
> LG Al-Chw.
>
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Ich versichere, dass ich AUCH DARAN gedacht hatte !
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![[]](http://www.eduard-stirnimann.ch/BergeMythen640.jpg){kind=small}
DARAN
