lokale Extrema, Definitheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Fr 22.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^3
[/mm]
Berechnen Sie die Hesse-Form von f im Nullpunkt. Untersuchen Sie, ob f im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt. |
[mm] H_f(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
Das stellt sich ja quasi von selbst auf. Soweit, so einfach.
Jetzt habe ich aber ein Problem: Mir gehen die nützlichen Kriterien für die Definitheit aus.
z.B. Definitheit im Falle der Dimension 2:
Sei det(H) = [mm] \pmat{ a&b\\c&d }
[/mm]
det(H) < 0 Rightarrow indefinit
det(H) > 0 und a > 0 Rightarrow positiv definit
det (H) > 0 und a < 0 Rightarrow negativ definit
Nun ist leider [mm] det(H_f) [/mm] = 0. Das hilft mir also nicht weiter.
z.B. Definitheit symmetrischer Matrizen
Das Kriterium verwendet die Eigenwerte der symmetrischen Matrix H.
Nun ist zwar [mm] H_f(0,0) [/mm] symmetrisch, aber die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms cp = 0 zu bestimmen, ist müßig.
Auch die direkte Definition der Definitheit von quadratischen Formen hilft mir in diesem Fall nicht weiter.
Tja, irgendwie ist alles doof. 
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Hallo MaRaQ,
das ist wirklich ein blöder Fall. Da die Matrix positiv semidefinit ist, kann es nur noch ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein. Es gibt aber meines Wissens kein einfaches Standardkriterium, um diesen Fall zu untersuchen.
Du könntest Punkte "in der Nähe" einsetzen, um das zu untersuchen. Ich habe mir mal den Graphen zeichnen lassen - dann sieht man sehr leicht, welche Punkte einem da helfen.
Im Grunde ist das aber nur dann ein "gutes" Verfahren, wenn es ein Sattelpunkt ist, denn dann findest du einen Funktionswert größer als an dem untersuchten Punkt und einen kleiner als am untersuchten Punkt. Du kannst es auch an der Funktionsgleichung sehen. Wenn du dich z.B. entlang der Geraden x=0 bewegst, dann siehst du direkt, dass [mm] y^{3} [/mm] das Vorzeichen ändert. Somit kann es nur ein Sattelpunkt sein.
Toll ist das nicht, aber wie gesagt - ein schönes Verfahren kenne ich nicht.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Fr 22.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Danke sehr. Ich hab mir die Funktion mal zeichnen lassen. Damit und mit dem Vorzeichenwechsel bei [mm]y + \varepsilon[/mm] bzw. [mm]y-\varepsilon[/mm] ist das dann ja noch ganz einfach zu argumentieren.
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Wieder ein typischer Fall von "Hilfe meine Backrezepte funktionieren nicht, die Aufgabe ist unlösbar." Auf die Idee mal selber nachzudenken, was man gerade macht, komm ich da leider nicht immer.
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