lokale Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 12.12.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x) = [mm] x^{T} [/mm] A x + [mm] c^{T} [/mm] x, wobei A:= [mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} [/mm] und c:= [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ -8}.
[/mm]
Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f. |
Hey Leute,
Ich weiss nicht was diese Woche mit meinem Ana Blatt los ist, aber iwie bekomm ich fast nichts hin -.-
Tutorium hat mir leider auch nicht wirklich was gebracht.
Ich muss hier schon erstmal die Matrix mit den 2 Vektoren multiplizeren, sowie die 2 Vektoren ?!
Und [mm] x:=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] setzen z.B.
Dann habe ich ja f(x,y,z) = (x,y,z) [mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + (-2 0 -8) [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Bekomme dann als Funktion am Ende:
f(x,y,z) = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] + [mm] 2z^{2} [/mm] - 2xy - 2x -8z
dann abgeleitet:
f'(x,y,z) = (6x-2y-2, 8y-2x, 4z-8)
f'(x,y,z) nullsetzen:
x = [mm] \bruch{4}{11}
[/mm]
y = [mm] \bruch{1}{11}
[/mm]
z = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}
[/mm]
Dann noch Hessematrix (führe ich jetzt nicht auf).
Bekomme raus, dass diese positiv definit ist [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Minimum bei x = [mm] \bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}
[/mm]
Das wäre aber laut meiner Rechnung dann die einzige Extremstelle.
Passt der Ansatz ? Bzw. das Ergebnis ?
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Hallo s1mn,
> Es sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x) = [mm]x^{T}[/mm] A x +
> [mm]c^{T}[/mm] x, wobei A:= [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2}[/mm]
> und c:= [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ -8}.[/mm]
> Bestimmen Sie alle lokalen
> Extremstellen von f.
> Hey Leute,
>
> Ich weiss nicht was diese Woche mit meinem Ana Blatt los
> ist, aber iwie bekomm ich fast nichts hin -.-
> Tutorium hat mir leider auch nicht wirklich was gebracht.
>
> Ich muss hier schon erstmal die Matrix mit den 2 Vektoren
> multiplizeren, sowie die 2 Vektoren ?!
> Und [mm]x:=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] setzen z.B.
>
> Dann habe ich ja f(x,y,z) = (x,y,z) [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> + (-2 0 -8) [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Bekomme dann als Funktion am Ende:
> f(x,y,z) = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]4y^{2}[/mm] + [mm]2z^{2}[/mm] - 2xy - 2x -8z
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]f(x,y,z) = 3x^{2} + 4y^{2} + 2z^{2} - 2xy\red{+4xz} - 2x -8z[/mm]
> dann abgeleitet:
> f'(x,y,z) = (6x-2y-2, 8y-2x, 4z-8)
>
> f'(x,y,z) nullsetzen:
> x = [mm]\bruch{4}{11}[/mm]
> y = [mm]\bruch{1}{11}[/mm]
> z = 2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}[/mm]
>
> Dann noch Hessematrix (führe ich jetzt nicht auf).
> Bekomme raus, dass diese positiv definit ist [mm]\Rightarrow[/mm]
> lokales Minimum bei x = [mm]\bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}[/mm]
>
> Das wäre aber laut meiner Rechnung dann die einzige
> Extremstelle.
>
> Passt der Ansatz ? Bzw. das Ergebnis ?
Das Ergebnis stimmt nicht,
da die Funktion nicht korrekt ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mi 12.12.2012 | | Autor: | s1mn |
Danke für deine schnelle Antwort. Ja du hast Recht. Stimmt nicht. Hab den Fehler auch gefunden.
Es hat sich ein Minus eingeschlichen, welches die 4xz verschwinden lassen hat^^
Danke :)
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