lokale Ringe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mo 07.06.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | sind folgende Ringe lokal?
$(iii)$ Der Ring [mm] $k[X]/(X^n)$ [/mm] für [mm] n\ge2
[/mm]
$(v)$ Der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner nicht durch $p$ teilbar ist.
$(vi)$ Der Ring [mm] $C(X,\IC)$ [/mm] der stetigen komplex-wertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X. |
$(iii)$ hier habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] $m=\{f+(X^n)|f=\summe_{i=1}^{n}a_iX^i\} [/mm] ist einziges maximales ideal, denn:
Sei $p$ ideal mit [mm] $g=\summe_{k=0}^{k}a_kX^k\in [/mm] p$
dann ist [mm] $gh=(\summe_{k=0}^{n}a_kX^k)(\summe_{l=0}^{m}b_lX^l)=\summe_{j=0}^{n+m}(\summe_{k+l=j}^{}a_kb_l)X^j\in [/mm] p$
da $k$ körper ist aber [mm] $\summe_{k+l=j}^{}a_kb_l \in [/mm] K$ beliebig
also muss $p=K$ gelten, $m$ war das einzige maximales ideal
und somit ist der ring lokal
kann man das so machen?
$(v)$ Hier geht es ja um: [mm] \{\bruch{a}{2^k}|a\in \IZ,k\in \IN\}
[/mm]
ich glaube aus wikipedia rausgelesen zu haben, dass es sich hier um einen lokalen ring handelt. scheitere aber daran, das maximale ideal zu finden.
$(vi)$ hier weiß ich gar nicht so recht, was ich machen soll. ein tipp wäre sehr hilfreich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 07.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> sind folgende Ringe lokal?
>
> [mm](iii)[/mm] Der Ring [mm]k[X]/(X^n)[/mm] für [mm]n\ge2[/mm]
> [mm](v)[/mm] Der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner nicht
> durch [mm]p[/mm] teilbar ist.
> [mm](vi)[/mm] Der Ring [mm]C(X,\IC)[/mm] der stetigen komplex-wertigen
> Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X.
>
>
> [mm](iii)[/mm] hier habe ich mir folgendes überlegt:
> [mm]$m=\{f+(X^n)|f=\summe_{i=1}^{n}a_iX^i\}[/mm] ist einziges
> maximales ideal, denn:
> Sei [mm]p[/mm] ideal mit [mm]g=\summe_{k=0}^{k}a_kX^k\in p[/mm]
> dann ist
> [mm]gh=(\summe_{k=0}^{n}a_kX^k)(\summe_{l=0}^{m}b_lX^l)=\summe_{j=0}^{n+m}(\summe_{k+l=j}^{}a_kb_l)X^j\in p[/mm]
>
> da [mm]k[/mm] körper ist aber [mm]\summe_{k+l=j}^{}a_kb_l \in K[/mm]
> beliebig
Wie kommst du dadrauf?
> also muss [mm]p=K[/mm] gelten, [mm]m[/mm] war das einzige maximales ideal
Wieso?!
> und somit ist der ring lokal
>
> kann man das so machen?
Nein.
Zeige erstmal, dass ein Element [mm] $\sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i [/mm] + [mm] (X^n)$ [/mm] genau dann eine Einheit ist, wenn [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$ ist, und dass die Nicht-Einheiten ein Ideal bilden.
> [mm](v)[/mm] Hier geht es ja um: [mm]\{\bruch{a}{2^k}|a\in \IZ,k\in \IN\}[/mm]
Eben nicht. Es geht um die Brueche, deren Nenner nicht durch $p$ teilbar ist.
> ich glaube aus wikipedia rausgelesen zu haben, dass es sich
> hier um einen lokalen ring handelt. scheitere aber daran,
> das maximale ideal zu finden.
Es ist auch ein lokaler Ring. Schau dir doch mal das von $p$ erzeugte Ideal an.
> [mm](vi)[/mm] hier weiß ich gar nicht so recht, was ich machen
> soll. ein tipp wäre sehr hilfreich.
Du hast zwei Faelle:
a) $X$ besteht aus hoechstens einem Element. Untersuche $X = [mm] \emptyset$ [/mm] und $X = [mm] \{ p \}$ [/mm] getrennt, in beiden Faellen ist der Ring lokal.
b) $X$ besteht aus mindestens zwei Elementen. Zeige, dass es mindestens zwei maximale Ideale gibt.
Tipp: schau dir den Einsetzungshomomorphismus $C(X, [mm] \IC) \to \IC$, [/mm] $f [mm] \mapsto [/mm] f(p)$ fuer verschiedene Punkte $p$ an. Was kannst du ueber diesen sagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 08.06.2010 | | Autor: | clee |
okay, erstmal vielen dank für die antwort. hat wie immer viel geholfen 
$(iii)$ gut, das war ziemlicher quatsch was ich da gemacht hab ... ich versuchs nochmal:
ich will ja zeigen: für [mm] $f=\summe_{i=0}^{n-1}a_iX^i+(X^n)$ [/mm] mit [mm] $a_0\not= [/mm] 0$ finde ich ein [mm] $g\in K[X]/(X^n)$ [/mm] sodass [mm] $fg=1+(X^n)$ [/mm] gilt.
dann wäre f ja eine einheit.
sei also [mm] $g=\summe_{j=0}^{n-1}b_jX^j+(X^n)$ [/mm] dann ist ja
[mm] $fg=(\summe_{i=0}^{n-1}a_iX^i+(X^n))(\summe_{j=0}^{n-1}b_jX^j+(X^n))=\summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{i+j=k}^{}a_ib_j)X^k+(X^n)$
[/mm]
nun wähle ich [mm] $b_0=a_0^{-1}$ [/mm] und [mm] $\forall j\ge [/mm] 1$ und [mm] $\forall k\ge [/mm] 1$ die [mm] $b_j$ [/mm] so, dass [mm] $\summe_{i+j=k}^{}a_ib_j=0$ [/mm] gilt,
was ja gehen sollte, da die koeffizienten ja im körper sind.
die nicht-einheiten sind dann von der form [mm] \summe_{i=1}^{n-1}a_iX^i+(X^n) [/mm] und bilden ein ideal welches maximal ist (was ja sehr leicht zu zeigen ist)
$(v)$ da bin ich wohl in der aufgabe verrutscht ... eigentlich sollte das heißen: "Der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner Potenzen von 2 sind."
dann wäre das ja die menge [mm] \{\bruch{p}{2^k}|p\in \IZ , k\in \IN \backslash\{0\}\}
[/mm]
mittlerweile glaube ich, dass es kein lokaler ring ist, da:
[mm] (\bruch{3}{2})=\{\bruch{3l}{2^k}|l\in \IZ ,k\in \IN \backslash\{0\}\} [/mm] und [mm] (\bruch{5}{2})=\{\bruch{5l}{2^k}|l\in \IZ ,k\in \IN \backslash\{0\}\} [/mm] beides ideale sind, welche meiner intuition nach auch maximal sind (was ich aber noch zeigen müsste)
im fall [mm] \{\bruch{a}{b}|p\_ teilt\_ nicht\_ b\} [/mm] ist das maximale ideal dann wohl einfach [mm] \{\bruch{a}{b}|p\_teilt\_nicht\_ b\_ und\_ p\_ teilt\_ a\}
[/mm]
$(vi)$ da muss ich glaub ich noch ein bisschen drüber grübeln 
wieso ist aber [mm] $C(\emptyset,\IC)$ [/mm] überhaupt ein ring? ich kann doch von [mm] \emptyset [/mm] nicht nach [mm] \IC [/mm] abbilden, kann also auch kein $0$ und $1$ element in [mm] $C(\emptyset,\IC)$ [/mm] haben, oder was verstehe ich hier nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:53 Do 10.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Wieso schreibst du eigentlich kursiv?
> okay, erstmal vielen dank für die antwort. hat wie immer
> viel geholfen
>
> [mm](iii)[/mm] gut, das war ziemlicher quatsch was ich da gemacht
> hab ... ich versuchs nochmal:
> ich will ja zeigen: für [mm]f=\summe_{i=0}^{n-1}a_iX^i+(X^n)[/mm]
> mit [mm]a_0\not= 0[/mm] finde ich ein [mm]g\in K[X]/(X^n)[/mm] sodass
> [mm]fg=1+(X^n)[/mm] gilt.
> dann wäre f ja eine einheit.
> sei also [mm]g=\summe_{j=0}^{n-1}b_jX^j+(X^n)[/mm] dann ist ja
>
> [mm]fg=(\summe_{i=0}^{n-1}a_iX^i+(X^n))(\summe_{j=0}^{n-1}b_jX^j+(X^n))=\summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{i+j=k}^{}a_ib_j)X^k+(X^n)[/mm]
> nun wähle ich [mm]b_0=a_0^{-1}[/mm] und [mm]\forall j\ge 1[/mm] und [mm]\forall k\ge 1[/mm]
> die [mm]b_j[/mm] so, dass [mm]\summe_{i+j=k}^{}a_ib_j=0[/mm] gilt,
> was ja gehen sollte, da die koeffizienten ja im körper
> sind.
Ja, das geht, aber ein klein wenig mehr Begruendung wuerde nicht schaden. Loese die Gleichung doch mal nach [mm] $b_k$ [/mm] auf.
> die nicht-einheiten sind dann von der form
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}a_iX^i+(X^n)[/mm] und bilden ein ideal welches
> maximal ist (was ja sehr leicht zu zeigen ist)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](v)[/mm] da bin ich wohl in der aufgabe verrutscht ...
> eigentlich sollte das heißen: "Der Ring der rationalen
> Zahlen, deren Nenner Potenzen von 2 sind."
> dann wäre das ja die menge [mm]\{\bruch{p}{2^k}|p\in \IZ , k\in \IN \backslash\{0\}\}[/mm]
Wieso sollte $k [mm] \neq [/mm] 0$ sein?
>
> mittlerweile glaube ich, dass es kein lokaler ring ist,
Es ist auch keiner. (Obwohl es eine Lokalisierung von [mm] $\IZ$ [/mm] ist -- jedoch nicht an einer Nennermenge, die von einem Primideal kommt.)
> da:
> [mm](\bruch{3}{2})=\{\bruch{3l}{2^k}|l\in \IZ ,k\in \IN \backslash\{0\}\}[/mm]
> und [mm](\bruch{5}{2})=\{\bruch{5l}{2^k}|l\in \IZ ,k\in \IN \backslash\{0\}\}[/mm]
> beides ideale sind, welche meiner intuition nach auch
> maximal sind (was ich aber noch zeigen müsste)
Ja, $(3)$ und $(5)$ sind maximal. (Und ja, das musst du noch zeigen ;) ) Genauer: die maximalen Ideale in dem Ring entsprechen gerade $(q)$, mit $q$ einer Primzahl [mm] $\neq [/mm] 2$.
> im fall [mm]\{\bruch{a}{b}|p\_ teilt\_ nicht\_ b\}[/mm] ist das
> maximale ideal dann wohl einfach
> [mm]\{\bruch{a}{b}|p\_teilt\_nicht\_ b\_ und\_ p\_ teilt\_ a\}[/mm]
Exakt.
> [mm](vi)[/mm] da muss ich glaub ich noch ein bisschen drüber
> grübeln
> wieso ist aber [mm]C(\emptyset,\IC)[/mm] überhaupt ein ring? ich
> kann doch von [mm]\emptyset[/mm] nicht nach [mm]\IC[/mm] abbilden, kann also
> auch kein [mm]0[/mm] und [mm]1[/mm] element in [mm]C(\emptyset,\IC)[/mm] haben, oder
> was verstehe ich hier nicht?
Nun, ist $X$ eine beliebige Menge, so gibt es immer genau eine Abbildung [mm] $\emptyset \to [/mm] X$. Eine Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ ist doch eine bestimmte Teilmenge von $A [mm] \times [/mm] B$, und [mm] $\emptyset \times [/mm] X = [mm] \emptyset$ [/mm] hat genau eine Teilmenge (die auch noch diese Eigenschaft erfuellt), naemlich [mm] $\emptyset$, [/mm] die sogenannte "leere Abbildung". Guck auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Im Fall $X = [mm] \emptyset$ [/mm] ist [mm] $C(\emptyset, \IC)$ [/mm] der Nullring. (Und wie man "lokal" normalerweise definiert ist er kein lokaler Ring, da die Nichteinheiten kein Ideal bilden -- $R = [mm] R^\ast$ [/mm] und somit ist die Menge der Nichteinheiten leer, und ein Ideal muss mindestens die 0 umfassen.)
LG Felix
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