lokale Ringe und Potenzreihen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Sei A ein lokaler Ring. Zeigen Sie dass der Ring der formalen Potenzreihen [mm] A[[x]]:=\big\{\summe_{i=0}^{\infty}a_n*x^n | a_n \in A \;\forall n\big\} [/mm] auch ein lokaler Ring ist. |
Hallo zusammen,
eine alternative Form dazu dass ein Ring A lokal ist, ist ja dass die Menge aller Nicht-Einheiten in A ein Ideal in A ist. Ist es sinnvoll diese Form zu verwenden? In jedem Fall sehe ich da leider noch gar nicht viel. Wenn zum Beispiel [mm] a_0+a_1*x [/mm] keine Einheit in $ A x $ ist, dann dürfte [mm] a_0-a_1*x [/mm] ja auch keine Einheit sein. Aber [mm] (a_0+a_1*x)+(a_0-a_1*x)=2*a_0 [/mm] wäre ja eine Einheit wenn [mm] 2*a_0 [/mm] eine Einheit ist.
Wie geht man hier denn nun am besten vor?
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Vilietha!
> Sei A ein lokaler Ring. Zeigen Sie dass der Ring der
> formalen Potenzreihen
> [mm]A[[x]]:=\big\{\summe_{i=0}^{\infty}a_n*x^n | a_n \in A \;\forall n\big\}[/mm]
> auch ein lokaler Ring ist.
>
> Hallo zusammen,
>
> eine alternative Form dazu dass ein Ring A lokal ist, ist
> ja dass die Menge aller Nicht-Einheiten in A ein Ideal in A
> ist. Ist es sinnvoll diese Form zu verwenden? In jedem Fall
> sehe ich da leider noch gar nicht viel. Wenn zum Beispiel
> [mm]a_0+a_1*x[/mm] keine Einheit in [mm]A[[x]][/mm] ist, dann dürfte
> [mm]a_0-a_1*x[/mm] ja auch keine Einheit sein. Aber
> [mm](a_0+a_1*x)+(a_0-a_1*x)=2*a_0[/mm] wäre ja eine Einheit wenn
> [mm]2*a_0[/mm] eine Einheit ist.
>
> Wie geht man hier denn nun am besten vor?
Ich würde erst einmal die Einheiten von $Ax$ bestimmen. Tipp: es sind Potenzreihen mit einer bestimmten Bedingung an [mm] $a_0\in [/mm] A$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort.
Also ich habe die Lösung nun mit Hilfe deines Tipps herausbekommen. Die Einheiten zu finden ist natürlich das Hauptproblem. Der Rest ist dann ja sehr einfach.
Eine Potenzreihe ist genau dann eine Einheit, wenn [mm] a_0 [/mm] eine Einheit ist. Sei [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n [/mm] also eine Potenzreihe mit [mm] a_0 [/mm] eine Einheit. Dann ist die folgende Potenzreihe das inverse Element: [mm] a_0-a_0^{-2}*a_1*x-a_0^{-1}*(a_0^{-1}*a_2-a_0^{-2}*a_1^2)*x^2-a_0^{-1}*(a_0^{-1}*a_3-2*a_0^{-2}*a_2*a_1+a_0^{-3}*a_1^3)*x^3 [/mm] ... Ich habe nur die ersten vier Terme ausgerechnet, aber man merkt dabei ja dass man dieses Spiel ewig so weiter machen kann so dass sich alles auslöscht.
Und wenn [mm] a_0 [/mm] keine Einheit ist dann ist der erste Term nicht die Identität und da sie auch nicht wegfällt kann es keine die Reihe dann keine Einheit sein. In der Algebra muss man ja die Reihenfolgen der Produkte usw nicht berücksichtigen, oder?
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Fr 10.02.2012 | | Autor: | felixf |
Huhu Vilietha!
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Also ich habe die Lösung nun mit Hilfe deines Tipps
> herausbekommen. Die Einheiten zu finden ist natürlich das
> Hauptproblem. Der Rest ist dann ja sehr einfach.
Genau :)
> Eine Potenzreihe ist genau dann eine Einheit, wenn [mm]a_0[/mm] eine
> Einheit ist. Sei [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n[/mm] also
> eine Potenzreihe mit [mm]a_0[/mm] eine Einheit. Dann ist die
> folgende Potenzreihe das inverse Element:
> [mm]a_0-a_0^{-2}*a_1*x-a_0^{-1}*(a_0^{-1}*a_2-a_0^{-2}*a_1^2)*x^2-a_0^{-1}*(a_0^{-1}*a_3-2*a_0^{-2}*a_2*a_1+a_0^{-3}*a_1^3)*x^3[/mm]
> ... Ich habe nur die ersten vier Terme ausgerechnet, aber
> man merkt dabei ja dass man dieses Spiel ewig so weiter
> machen kann so dass sich alles auslöscht.
Genau. Du kannst sogar einen expliziten Ausdruck fuer den $n$-ten Koeffizienten hinschreiben, dazu multiplizierst du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm] formal aus und setzt es gleich $1$.
Alternativ kannst du uebrigens auch mit Hensels Lemma argumentieren, falls du das schon hattest. Dann brauchst du nicht explizit zu rechnen.
> Und wenn [mm]a_0[/mm] keine Einheit ist dann ist der erste Term
> nicht die Identität und da sie auch nicht wegfällt kann
> es keine die Reihe dann keine Einheit sein.
Genau.
> In der Algebra
> muss man ja die Reihenfolgen der Produkte usw nicht
> berücksichtigen, oder?
Wenn du mit Reihenfolge der Produkte ihre Reihenfolge bzgl. der Addition meinst, dann nein, solange du dich in Ringen bewegst. Wenn du die Reihenfolge bei der Multiplikation in Produkten meinst, dazu brauchst du die Kommutativitaet der Multiplikation. Aber bei kommutativen Ringen mit Eins (mit denen man in der kommutativen Algebra so arbeitet ;) ) ist es eh erfuellt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix!
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort.
Dank ihr sind nun so gut wie alle meine Fragen beantwortet. 
Viele Grüße,
Vilietha
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