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| Aufgabe | a) Bestimmen und klassifizieren Sie die lokalen Extrema der Funktion [mm] f:\IR^{2}-->\IR, (x,y)-->x^{3}+3xy²-3xy
[/mm]
b) Sei [mm] f:\IR^{2}-->\IR, [/mm] (x,y)-->ysinx. In welchen Punkt hat f ein lokales Extremum? |
also ich weiß nicht genau ob das stimmt was ich da getan hab.
Zuerst hab ich [mm] \partialf(x,y)=\vektor{3x²+3y²-3y \\ 6xy-3x}=\vektor{0\\0} \gdw [/mm] (x,y)=(0,1/2) und (x,y)=(0,0)
dann [mm] H_{f}(x,y)=\pmat{ 6x & 6y-3 \\ 6y-3 & 6x } [/mm] und [mm] H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 }
[/mm]
und jetz weiß ich ned genau was das heißt, Ich würde sagen die Hessematrix ist indefinit oder? Also cih kann keine aussage ober die extrema treffen, wie aber mach ich das dann?
bei der b hab ich genau das verfahren angewendet und komme dann auch das lokale Extrema (x,y)=(1,0), bin ich jetz schon fertig? Weil es steht ja nicht da das ich zeigen soll was das für ein extrema ist!
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> a) Bestimmen und klassifizieren Sie die lokalen Extrema der
> Funktion [mm]f:\IR^{2}-->\IR, (x,y)-->x^{3}+3xy²-3xy[/mm]
>
> b) Sei [mm]f:\IR^{2}-->\IR,[/mm] (x,y)-->ysinx. In welchen Punkt hat
> f ein lokales Extremum?
> also ich weiß nicht genau ob das stimmt was ich da getan
> hab.
Hallo,
es ist nicht vollständig, aber immerhin ein guter Anfang.
>
> Zuerst hab ich [mm] \partial f(x,y)=\vektor{3x²+3y²-3y \\ 6xy-3x}=\vektor{0\\0}
[/mm]
Du hast den Gradienten ausgerechnet und =0 gesetzt.
Da entstehende Gleichungssystem ist zu lösen.
An dieser Stelle wäre es gut, würdest Du mal vorrechnen, was Du getan hast, die erste Deiner Lösungen stimmt nämlich nicht, und es fehlt ein bißchen was.
Zu lösen ist
3x²+3y²-3y =0
6xy-3x=0
> [mm] \gdw [/mm]
> (x,y)=(0,1/2) und (x,y)=(0,0)
>
> dann [mm]H_{f}(x,y)=\pmat{ 6x & 6y-3 \\ 6y-3 & 6x }[/mm]
Die Hessematrix stimmt.
Ich schreib Dir jetzt für zwei Variablen auf, was man aus der Hessematrix ablesen kann:
Det positiv und linkes oberes Element negativ: Maximum (negativ definit)
Det positiv und linkes oberes Element positiv: Minimum (positiv definit)
Det negativ: Sattelpunkt (indefinit)
Det=0: keine Aussage möglich
>und
> [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 }[/mm]
> und jetz weiß ich ned genau was das heißt, Ich würde sagen
> die Hessematrix ist indefinit oder?
Genau. Und damit weißt Du, daß Du hier einen Sattelpunkt hast.
> bei der b hab ich genau das verfahren angewendet und komme
> dann auch das lokale Extrema
Bitte: es heißt "ein Extremum", "viele Extrema".
> (x,y)=(1,0),
Auch hier müßtest Du mal vormachen, welches GS Du hast und wie Du es löst.
Gruß v. Angela
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