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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
| Aufgabe | [mm] z=f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)
[/mm]
Bestimmen sie die Extremstellen und Werte von f. Geben sie an ob Maxima oder Minima vorliegen |
Hallo,
Im Prinzip weiß ich, was zu tun ist.
Mein Problem ist die Bestimmung der Nullstellen von [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y
[/mm]
Zuerst bilde ich mal die partiellen Ableitungen:
[mm] f_x=3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3
[/mm]
[mm] f_x_x=6xy^2-12x^2y^2-6xy^3
[/mm]
[mm] f_y=2x^3y-2x^4y-3x^3y^2
[/mm]
[mm] f_y_y=6x^3-2x^4-6x^3y
[/mm]
[mm] f_x_y=f_y_x=6x^2y-8x^3y-9x^2y^2
[/mm]
SO
[mm] f_x=0 [/mm] man kann ja schon sehen das für [mm] x_1= [/mm] 0 oder [mm] y_1=0 f_x=0 [/mm] ist
[mm] f_y=0
[/mm]
Ich fange einfach mal mit [mm] f_x [/mm] an und klammere [mm] x^2 [/mm] aus
[mm] =x^2(3y^2-4xy^2-3y^3)=0 --->x_1=x_2=0
[/mm]
jetzt klammere ich [mm] y^2 [/mm] aus
[mm] y^2(3-4x-3y)=0 [/mm] also auch [mm] y_2=0
[/mm]
nach x auflösen:
[mm] x=\bruch{1}{4}(-3y+3)
[/mm]
jetzt setzt ich xn [mm] f_y [/mm] ein:
[mm] =2(\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}y)^3y-2((\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}y)^4y-3(\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}y)^3y^2 [/mm] ----> [mm] y_3=1;x_3=0 [/mm] ( ich glaube der Wert bringt nichts, da im Falle x oder y = 0 der andere Wert beliebige Werte annehmen kann )
.
.
.
[mm] y=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] y_4=-\bruch{2}{3}; x_4=-\bruch{5}{4}
[/mm]
Wenn ich [mm] f_y=0 [/mm] nach x auflöse
[mm] x=1-\bruch{3}{2}y [/mm] und auch hier sieht man das die [mm] x_1=x_2=_x3=0 [/mm] ist.
Wenn ich nun hier x in [mm] f_x [/mm] einsetzte
.
..
[mm] y=\bruch{1}{3}-----> x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Würde mir vielleicht jemand sagen ob ich das so richtig gemacht habe. Und die x und y - Werte stimmen ?
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Hallo x61!
Ich erhalte andere Werte. Aber Du rechnest m.E. auch zu kompliziert.
> Zuerst bilde ich mal die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]f_x=3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3[/mm]
> [mm]f_x_x=6xy^2-12x^2y^2-6xy^3[/mm]
> [mm]f_y=2x^3y-2x^4y-3x^3y^2[/mm]
> [mm]f_y_y=6x^3-2x^4-6x^3y[/mm]
> [mm]f_x_y=f_y_x=6x^2y-8x^3y-9x^2y^2[/mm]
Stimmt fast alles. Bei [mm]f_{yy}[/mm] erhalte ich [mm]\red{2}*x^3 \ ...[/mm] .
> Ich fange einfach mal mit [mm]f_x[/mm] an und klammere [mm]x^2[/mm] aus
> [mm]=x^2(3y^2-4xy^2-3y^3)=0 --->x_1=x_2=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Klammere als erstes bei [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] weitestgehend aus.
Damit ergibt sich jeweils [mm]x \ = \ 0[/mm] oder [mm]y \ = \ 0[/mm] .
Es verbleibt folgendes Gleichungssystem:
[mm]\vmat{ 3-4x-3y & = & 0 \\
2-2x-3y & = & 0 } [/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
Danke !!
Also hätte ich am Ende nur die Punkt
[mm] P_1(0;0) [/mm]
[mm] P_2(0;0)
[/mm]
[mm] P_3(1/2;1/3)
[/mm]
zu untersuchen ?
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Hallo x61,
> Danke !!
>
> Also hätte ich am Ende nur die Punkt
> [mm]P_1(0;0)[/mm]
> [mm]P_2(0;0)[/mm]
Hmmm, wenn $x=0$ ist, so ist $y$ doch beliebig wählbar, diese Produkte mit den x,y-Potenzen bleiben doch 0
Umgekert genauso: [mm] $y=0\Rightarrow x\in\IR$ [/mm] beliebig
> [mm]P_3(1/2;1/3)[/mm]
>
> zu untersuchen ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
> Hallo x61,
>
> > Danke !!
> >
> > Also hätte ich am Ende nur die Punkt
> > [mm]P_1(0;0)[/mm]
> > [mm]P_2(0;0)[/mm]
>
> Hmmm, wenn [mm]x=0[/mm] ist, so ist [mm]y[/mm] doch beliebig wählbar, diese
> Produkte mit den x,y-Potenzen bleiben doch 0
>
> Umgekert genauso: [mm]y=0\Rightarrow x\in\IR[/mm] beliebig
Das bedeutet also, daß ich nur den Punkt [mm] P_3 [/mm] untersuchen muss?!
>
> > [mm]P_3(1/2;1/3)[/mm]
> >
> > zu untersuchen ?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 17.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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