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Hallo Leute,
es wäre echt lieb, wenn ihr mir bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen könntet: Wie zeige ich bei einer stetigen Abbildung von [mm] R^n [/mm] nach R, dass wenn lokale Extrema vorliegen der Gradient gleich Null ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Do 02.06.2005 | | Autor: | QCO |
Dieser Beweis ist relativ einfach, wenn du dir mal überlegst, wie denn deine Funktion aussieht und was der Gradient ist.
Wenn f eine Funktion von n Variablen ist, also [mm] f=f(x_{1},x_{2}, [/mm] ..., [mm] x_{n}), [/mm] dann ist grad [mm] f(x_{0})=( \bruch{\partial f}{\partial x_{1}},\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}, [/mm] ..., [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{n}})
[/mm]
Wenn wir jetzt mal wie bei der partiellen Ableitung alle [mm] x_{j} [/mm] bis auf eines ( [mm] x_{i} [/mm] als konstant ansehen, haben wir eine Funktion [mm] h_{i} [/mm] von nur einer Variablen (die anderen sind noch da, aber konstant).
Wenn [mm] f(x_{1},x_{2}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = [mm] (x_{0_{1}}, x_{0_{2}}, ...,x_{0_{n}}) [/mm] eine Extremum hat, dann hat auch [mm] h_{i}(x_{0_{i}} [/mm] ein Extremum (klar, oder).
Das die Ableitung einer Funktion [mm] \IR \to \IR [/mm] an einem Extremum der Funktion gleich 0 ist, lernt man schon in der Schule.
Also ist auch die Ableitung von [mm] h_{i} [/mm] an [mm] x_{0} [/mm] gleich 0.
Diese Ableitung ist aber auch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}, [/mm] die damit auch gleich 0 ist.
Das gilt analog natürlich auch für alle anderen Komponenten des Gradients...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Do 02.06.2005 | | Autor: | zuckerfee |
Danke :)
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