lokales Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 17.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Funktion f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] , f(x,y) = (y - [mm] x^2)(y-2x^2) [/mm] kein lokales Minimum hat in 0 [mm] \in \IR^2. [/mm] Allerdings hat die Restriktion von f auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum in 0. |
Es muss also gelten:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists (x_{\varepsilon} [/mm] , [mm] y_{\varepsilon}) \in B(0,\varepsilon) [/mm] so dass [mm] f(x_{\varepsilon} [/mm] , [mm] y_{\varepsilon}) [/mm] < 0.
[mm] (B(0,\varepsilon) [/mm] ist der Ball um den Nullpunkt)
Ich muss nun also Punkte [mm] (x_{\varepsilon} [/mm] , [mm] y_{\varepsilon}) [/mm] finden, welche ein negatives Bild haben. Liege ich da richtig?
Und wie finde ich solche Punkte am besten?
|
|
| |
|
Hallo jokerose,
> Zeige, dass die Funktion f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] , f(x,y) = (y -
> [mm]x^2)(y-2x^2)[/mm] kein lokales Minimum hat in 0 [mm]\in \IR^2.[/mm]
> Allerdings hat die Restriktion von f auf jede Gerade durch
> den Nullpunkt ein lokales Minimum in 0.
> Es muss also gelten:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists (x_{\varepsilon}[/mm] ,
> [mm]y_{\varepsilon}) \in B(0,\varepsilon)[/mm] so dass
> [mm]f(x_{\varepsilon}[/mm] , [mm]y_{\varepsilon})[/mm] < 0.
>
> [mm](B(0,\varepsilon)[/mm] ist der Ball um den Nullpunkt)
>
> Ich muss nun also Punkte [mm](x_{\varepsilon}[/mm] ,
> [mm]y_{\varepsilon})[/mm] finden, welche ein negatives Bild haben.
> Liege ich da richtig?
Ja.
> Und wie finde ich solche Punkte am besten?
Betrachte hier die Funktionsgleichung [mm]f\left(x,y\right)[/mm]
Und bestimme, wann
[mm]f\left(x,y\right) < 0 [/mm]
ist.
Ein Produkt von 2 Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 17.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Gut, ich habe nun folgendes herausgefunden:
f(x,y) > 0 [mm] \gdw 2x^2 [/mm] > y > [mm] x^2
[/mm]
Denn so ist der erste Faktor der Funktion positiv und der zweite Faktor ist negativ.
Doch wie muss nun die komplette Antwort lauten? Fehlt da noch was, oder bin ich nun bereits fertig?
|
|
|
| |
|
> Gut, ich habe nun folgendes herausgefunden:
>
> f(x,y) > 0 [mm]\gdw 2x^2[/mm] > y > [mm]x^2[/mm]
>
> Denn so ist der erste Faktor der Funktion positiv und der
> zweite Faktor ist negativ.
Dann sollte es aber heissen:
[mm]f(x,y)\ \red{<}\ 0 \gdw 2x^2[/mm] > y > [mm]x^2[/mm]
> Doch wie muss nun die komplette Antwort lauten? Fehlt da
> noch was, oder bin ich nun bereits fertig?
Wenn man sich die Gebiete mit positiven oder negativen
Werten von f(x,y) in der x-y-Ebene anschaut, dann
sieht man: Die zwei Parabeln [mm] p_1: y=x^2 [/mm] und [mm] p_2: y=2x^2,
[/mm]
welche einander in O(0/0) berühren, teilen die x-y-Ebene
in drei Gebiete:
[mm] G_1: y2x^2
[/mm]
Es gilt:
f(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in p_1 \cup p_2
[/mm]
insbesondere: f(0,0)=0
f(x,y)<0 [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in G_2
[/mm]
f(x,y)>0 [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in G_1 \cup G_3 [/mm]
Jede Gerade g, die durch O verläuft, geht im Punkt O direkt
von [mm] G_1 [/mm] in [mm] G_3 [/mm] über; deshalb hat [mm] f_{g} [/mm] in O ein lokales
(strenges) Minimum. (Ausnahme: die Gerade g: y=0 geht in
O "von [mm] G_1 [/mm] in [mm] G_1" [/mm] über. Aber auch in diesem Fall
resultiert ein strenges Minimum für [mm] f_{g} [/mm] in O ).
Trotzdem liegt in O kein lokales Minimum von f, da das Gebiet
[mm] G_2 [/mm] (mit negativen f-Werten) wie die Scheren eines Krebses
beidseitig beliebig nahe an den Punkt O heranreicht. Wenn man
zum Beispiel der Parabel [mm] p_{1.5}: [/mm] y= 1.5 [mm] x^2 [/mm] entlang den
Punkt O überquert, so stellt man in O ein lokales Maximum
von f(x,y) ((x,y) restringiert auf diese Kurve) fest !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 17.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
lokals Min heisst doch nicht f=0?
also ist schon dein Ansatz falsch!
sieh erstmal nach, was auf den Geraden y=mx passiert, dann auf parabeln z.Bsp [mm] y=ax^2, [/mm] oder [mm] y=ax^3 [/mm] usw.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> lokals Min heisst doch nicht f=0?
Hallo,
natürlich nicht, aber jokerose soll untersuchen, ob es im Nullpunkt ein lokales Minimum gibt, und da im Nullpunkt der Funktionswert bei der vorgegebenen Funktion =0 ist, ist es schon sinnvoll nachzuschauen, ob es in der Umgebung dieses Punktes Stellen mit negativen Funktionswerten gibt.
> also ist schon dein Ansatz falsch!
Daher ist doch jokeroses Idee, Stellen mit negativen Funktionswerten aufzuspüren nicht übel.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
