lotfußpunkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 05.05.2004 | | Autor: | flo |
Hallo, ihr Lieben! :)
Könnt ihr mir bitte sagen, wie ich einen lotfußpunkt bestimmen kann?!
Das ist doch sicherlich der Punkt, der in der senkrechten Verlängerung in der Ebene liegt, oder?
Irgendwie verstehe ich die Berrechnung nicht so ganz... ein Normalenvektor ist da doch bestimmt wieder mit im Spiel, oder?!
liebe grüße,
flo :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo flo
> Könnt ihr mir bitte sagen, wie ich einen lotfußpunkt
> bestimmen kann?!
Dazu muss man erst mal wissen, was ein Lot ist.
"Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf eine Fläche steht" oder auch
"Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf eine andere Gerade steht"
> Das ist doch sicherlich der Punkt, der in der senkrechten
> Verlängerung in der Ebene liegt, oder?
Wenn du unter "senkrechte Verlängerung" eine Gerade verstehst, die senkrecht auf die Ebene steht, dann stimmt das so.
> Irgendwie verstehe ich die Berrechnung nicht so ganz...
> ein Normalenvektor ist da doch bestimmt wieder mit im
> Spiel, oder?!
Oh ja, bestimmt.
Kannst du vielleciht mal die konktete Aufgabe durchgeben, zusammen mit deinen Lösungsversuchen? ... dann können wir mal sehen...
Ich vermute, dass ein Punkt P und eine Ebene E (oder Gerade G) gegeben ist und der Lotfusspunkt dueses Punktes auf E ( oder G) gesucht ist.
Dann musst du doch einfach auf diese Ebene (Gerade) den Normalenvektor bilden und dann durch P eine Gerade legen, die die gleiche Richtung wie der Normalenvektor aufweist. Der Durchstosspunkt dieser durch P gehenden Geraden durch die gegebene Ebene (Gerade) ist dann gerade der gesuchte Lotfusspunkt.
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Jo zeig mal die Aufgabe her und wir rechnen Sie mal oder besser, wir bringen es dir bei.
Grob hat der liebe Paulus all das schon erwähnt.
Wenn du zum Beispiel einen Punkt und eine Eben hast und du sollst den Lotfußpunkt bestimmen, dann nimmste den Punkt als Aufpunkt und halt den Normalenvektor als Richtungsvektor. Das wars eigentlich schon. Eine ziemlich unspektakulere Sache. Dann musste nur noch diese sogenannte Lotgerade in die Ebene einsetzen. Dann bekommste ein lambda raus und dass dann nur noch in die Lotgerade einsetzen und schon haste dein Lotfußpunkt.
Für Abstände ist dieses Verfahren auch von großer Bedeutung. Nur mit diesem Lotfußpunkt kannste nun die Entfernung bestimmen.
Aber Aufgabe her und wir zeigen dir wie's funktioniert.
MfG der frische Abiturient Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 18.06.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
ich bin das erste mal hier und habe folgende fragen:
aufgabe:komm mit der eingabe von der geradengleichung in Parameterform nicht klar... sorry!!!
g: P(9/5/4), Q(2/1/0)
E: 2x - 2y + z = 6
1. Ermittle die Länge und den Lotfußpunkt des vom Nullpunkt auf die
Ebene E gefällten Lotes.
2. Ermittle die Punkte auf g, welche von E den Abstand d=4 haben.
Meine Fragen: Der Lotfußpunkt ist also eine Verlängerung von n?
Den Abstand berechnet man doch mit Hilfe der HNF, oder? Wie fängt man das dann an? Hab bisher immer gedacht, dass die HNF nur die Entfernung zum Nullpunkt beschreibt. Ich steh mir da irgendwie auf'm Schlauch.
Wäre lieb, wenn mir einer weiterhelfen könnte.
LG, ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Paulus |
hallo ziska
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo!
> ich bin das erste mal hier und habe folgende fragen:
>
> aufgabe:komm mit der eingabe von der geradengleichung in
> Parameterform nicht klar... sorry!!!
>
> g: P(9/5/4), Q(2/1/0)
> E: 2x - 2y + z = 6
>
> 1. Ermittle die Länge und den Lotfußpunkt des vom Nullpunkt
> auf die
> Ebene E gefällten Lotes.
>
> 2. Ermittle die Punkte auf g, welche von E den Abstand d=4
> haben.
>
> Meine Fragen: Der Lotfußpunkt ist also eine Verlängerung
> von n?
Der Lotfusspunkt vom Koordinatenursprung, ja. [mm] $\vec{n}$ [/mm] ist ja ein Vektor, den du dir als Pfeil vom Nullpunkt ausgehend denken kannst.
Allgemein ist der Lotfusspunkt eines Punktes im Raum die senkrechte Projektion dieses Punktes auf die Ebene.
Aus $ax+by+cz=d$ erhältst du die Hessesche Normalform, indem du die ganze Gleichung durch [mm] $\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ [/mm] dividierst und die Konstante noch nach links nimmst.
Für unser Beispiel also:
Aus $2x-2y+z=6$ dividierst du also durch [mm] $\wurzel{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\wurzel{4+4+1}=\wurzel{9}=3$
[/mm]
Somit erhältst du:
[mm] $\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}z-2=0$
[/mm]
Und jetzt kommt die ganz grosse Sache, die es sich zu merken lohnt: wenn du von obigem Ausdruck das $= 0$ wegnimmst, dann erhältst du den folgenden Ausdruck:
[mm] $\bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}z-2$
[/mm]
... und hier kannst du für $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten eines beliebigen Punktes einsetzen und bekommst gerade den Abstand dieses Punktes von der Ebene.
Setze zum Beispiel (0,0,0) ein, dann erhältst du $-2$
Der Abstand des Nullpunktes ist also $2$
Setze zum Beispiel (5,3,2) [mm] ein:$\bruch{2}{3}*5 [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}*3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*2-2=0$
[/mm]
Der Abstand des Punktes (5,3,2) von der Ebene ist also $0$, der liegt somit in der Ebene.
Setze zum Beispiel (8,-2,-2) [mm] ein:$\bruch{2}{3}*8 [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}*(-2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*(-2)-2=4$
[/mm]
Der Abstand des Punktes (8,-2,-2) von der Ebene ist also $4$. Dabei ist zu beachten, dass dieser Punkt auf der anderen Seite der Ebene liegt als der Koordinatenursprung. Denn: bei Einsetzen von (0,0,0) ergibt sich ein negativer Wert, (8,-2,-2) ergibt aber einen positiven Wert.
Also, wir wissen, dass die Spitze des Normalenvektors [mm] $\vec{n}$ [/mm] vom Koordinatenursprung die Länge $1$ hat, die Ebene aber den Abstand $2$. Somit müssen wir nur den Normalenvektor verdoppeln und erhalten so gerade die Koordinaten des Normalenfusspunktes: $( [mm] \bruch{4}{3},-\bruch{4}{3},\bruch{2}{3})$.
[/mm]
Kannst du bitte einmal die 2. Aufgabe versuchen? Dazu brauchst du nur die Geradengleichung mit einem Richtungsvektor aufzustellen und wie oben gezeigt die x-, y- und z-Werte (mit einem Parameter) einzusetzen. Der Parameter ist dann so zu wählen, dass der errechnete Abstand den Wert 4 erhält.
Wenn du das nicht kannst oder noch einen Tip dazu brauchst, darfst du dich ohne weiteres einfach wieder melden.
Es wäre auch toll, wenn du dich mit deiner Lösung meldest, nur um diese kontrollieren zu lassen. 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 19.06.2004 | | Autor: | ziska |
Paulus schrieb:
Also, wir wissen, dass die Spitze des Normalenvektors vom Koordinatenursprung die Länge hat, die Ebene aber den Abstand 2. Somit müssen wir nur den Normalenvektor verdoppeln und erhalten so gerade die Koordinaten des Normalenfusspunktes.
Meine Frage dazu: Die Spitze des Normalenvektors, ist das der Einheitsvektor? denn ansonsten versteh ich nicht, warum dieser die Länge 1 besitzt.... Demnach müsste ich doch erst den Normalenvektor durch 3 dividieren, oder? wäre nett, wenn du mir das erklären könntest.
für deine anderen Erklärungen in ich dir sehr dankbar, habs allerdings noch nicht geschafft, die zweite Aufgaben durchzurechen. ich meld mich dann aber!!! Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
> Paulus schrieb:
> Also, wir wissen, dass die Spitze des Normalenvektors vom
> Koordinatenursprung die Länge 1 hat, die Ebene aber den
> Abstand 2. Somit müssen wir nur den Normalenvektor
> verdoppeln und erhalten so gerade die Koordinaten des
> Normalenfusspunktes.
>
> Meine Frage dazu: Die Spitze des Normalenvektors, ist das
> der Einheitsvektor? denn ansonsten versteh ich nicht, warum
> dieser die Länge 1 besitzt.... Demnach müsste ich doch erst
> den Normalenvektor durch 3 dividieren, oder? wäre nett,
> wenn du mir das erklären könntest.
> für deine anderen Erklärungen in ich dir sehr dankbar,
> habs allerdings noch nicht geschafft, die zweite Aufgaben
> durchzurechen. ich meld mich dann aber!!! Danke!!!
>
Ja, ich bin davon ausgegangen, dass wir jetzt mit der Hesseschen Normalform arbeiten. Und bei dieser hat der Normalenvektor immer die Länge $1$. Wir haben ja, genau wie du es vorschlägst, vorgängig die ganze Ebenengleichung durch $3$ dividiert und somit den Normalenvektor
[mm] $\vec{n}=\begin{pmatrix}\bruch{2}{3}\\\bruch{-2}{3}\\\bruch{1}{3}\end{pmatrix}$
[/mm]
Wenn du von diesem Vektor die Länge berechnest, erhältst du tatsächlich den Wert $1$, er reicht gewissermassen nicht bis zur Ebene, da diese ja den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung besitzt.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mo 21.06.2004 | | Autor: | ziska |
Paulus schrieb:
Kannst du bitte einmal die 2. Aufgabe versuchen? Dazu brauchst du nur die Geradengleichung mit einem Richtungsvektor aufzustellen und wie oben gezeigt die x-, y- und z-Werte (mit einem Parameter) einzusetzen. Der Parameter ist dann so zu wählen, dass der errechnete Abstand den Wert 4 erhält.
Okay, bei mir ist dann bei der 2. Aufgabe noch eine Frage aufgekommen. Die Geradengleichung hab ich nun in der Parameterform vorliegen.
Nun weiß ich nur nicht, welche x-,y- und z-Werte ich einsetzen soll. Wo bekomm ich die Werte her? Brauch ich die HNf der Geradengleichung -gibts die überhaupt bei Geraden?!? Wie du siehst, steh ich mir total auf dem Schlauch. Sorry, aber Vektorrechnung is net so mein Fall!
Für deine Anwort in ich dir schon im Vorraus dankbar!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
> Paulus schrieb:
>
> Kannst du bitte einmal die 2. Aufgabe versuchen? Dazu
> brauchst du nur die Geradengleichung mit einem
> Richtungsvektor aufzustellen und wie oben gezeigt die x-,
> y- und z-Werte (mit einem Parameter) einzusetzen. Der
> Parameter ist dann so zu wählen, dass der errechnete
> Abstand den Wert 4 erhält.
>
> Okay, bei mir ist dann bei der 2. Aufgabe noch eine Frage
> aufgekommen. Die Geradengleichung hab ich nun in der
> Parameterform vorliegen.
> Nun weiß ich nur nicht, welche x-,y- und z-Werte ich
> einsetzen soll. Wo bekomm ich die Werte her? Brauch ich die
> HNf der Geradengleichung -gibts die überhaupt bei
> Geraden?!? Wie du siehst, steh ich mir total auf dem
> Schlauch. Sorry, aber Vektorrechnung is net so mein Fall!
>
> Für deine Anwort in ich dir schon im Vorraus dankbar!!!
>
Es wäre schön, wenn du deine Geradengleichung gleich mitgeteilt hättest. Dann müsste ich sie nicht mehr selber herleiten. 
Also, was haben wir bis jetzt:
Einmal E. in der Hesseschen Normalform:
$E: [mm] \bruch {2}{3}x-\bruch {2}{3}y+\bruch [/mm] {1}{3}z-2=0$
Die führt zur Abstandsgleichung (Name von mir frei erfunden):
[mm] $\bruch {2}{3}x-\bruch {2}{3}y+\bruch [/mm] {1}{3}z-2=d$
Das heisst, $d$ ist der Abstand des Punktes mit den Koordinaten$(x,y,z)$ von der Ebene $E$.
(Wenn der Punkt $(x,y,z)$ auf der Ebene liegt, dann ist der Abstand $=0$).
Dann haben wir 2 Punkte: $P(9,5,4)$ und $Q(2,1,0)$.
Der Vektor $P-Q = (9,5,4)-(2,1,0)=(7,4,4,)$ verbindet die beiden Punkte, wenn man den ihn bei $Q$ "anheftet".
Eine Geradengleichung (nicht die einzige) ist also:
$g: (2,1,0) + t*(7,4,4)$
Das ist eine Vektorgleichung und beinhaltet eigentlich 3 Koordinatengleichungen:
$x=2+7t$
$y=1+4t$
$z=4t$
Und eben diese Werte sind in der Abstandsgleichung einzusetzen und $= 4$ zu setzen:
[mm] $\bruch {2}{3}x-\bruch {2}{3}y+\bruch [/mm] {1}{3}z-2=4$
[mm] $\bruch {2}{3}*(2+7t)-\bruch {2}{3}*(1+4t)+\bruch [/mm] {1}{3}*(4t)-2=4$
Das müsstest du jetzt also nach $t$ auflösen, und das so ermittelte $t$ in der Geradenparametergleichung einsetzen, um so den gesuchten Punkt zu erhalten. Kannst du dies einmal versuchen und uns dein Ergebnis zur Kontrolle mitteilen?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 23.06.2004 | | Autor: | ziska |
okay, ich hab die 2. aufgabe jetzt gelöst und hoffe, dass sie stimmt....
ich bin allerding von einer anderen Geradengleichung ausgegangen:
g: x= (9,5,4) + r*(-7,-4,-4)
=> x= 9-7r
y= 5-4r
z= 4-4r
Die Gleichungen hab ich dann in die sog. "abstandsgleichung" eingesetzt und gleich 4 gesetzt.
=> E: 2/3 (9-7r) - 2/3 (5-4r) + 1/3 (4-4r) -2 = 4
Anschließend nach r aufgelöst:
Ergebnis bei mir: r= -3/5
in g : x= (9,5,4) - 3/5 (-7,-4,-4)
= ( 66/5 , 37/5 , 32/5 )
Punkt, der 4 von der Ebene entfernt ist:
=> P ( 66/5 ; 37/5 ; 32/5 )
Sind nur komische Zahlen bei rausgekommen, hoffe die stimmen trotzdem!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
> okay, ich hab die 2. aufgabe jetzt gelöst und hoffe, dass
> sie stimmt....
>
> ich bin allerding von einer anderen Geradengleichung
> ausgegangen:
>
> g: x= (9,5,4) + r*(-7,-4,-4)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist auch gut!
> => x= 9-7r
> y= 5-4r
> z= 4-4r
> Die Gleichungen hab ich dann in die sog.
> "abstandsgleichung" eingesetzt und gleich 4 gesetzt.
>
> => E: 2/3 (9-7r) - 2/3 (5-4r) + 1/3 (4-4r) -2 = 4
>
> Anschließend nach r aufgelöst:
> Ergebnis bei mir: r= -3/5
>
> in g : x= (9,5,4) - 3/5 (-7,-4,-4)
> = ( 66/5 , 37/5 , 32/5 )
>
> Punkt, der 4 von der Ebene entfernt ist:
> => P ( 66/5 ; 37/5 ; 32/5 )
>
> Sind nur komische Zahlen bei rausgekommen, hoffe die
> stimmen trotzdem!
>
>
So komisch sind die Zahlen doch gar nicht. Die stimmen, ich habe sie mit Hilfe meiner Geradengleichung überprüft. Hast du super gemacht!!
Ein Problem bleibt allerdings noch: die Gerade durchstösst die Ebene ja. Auf der anderen Seite der Ebene müsste auch noch eine Lösung liegen!
Die erhält man, wenn man sich überlegt, dass der Abstand von der Ebene vorzeichenbehaftet ist. Das heisst, du solltest in der Abstandsgleichung nicht nur $=4$ setzen, sondern auch noch $= -4$. In der Regel kann man beide Rechnungen weitgehend in einem Durchgang lösen:
(Ich nehme nochmals meine eigene Geradengleichung, dann kannst du zur Kontrolle das Ganze ja noch mit deiner Geradengleichung nachvollziehen):
$g: (2/1/0)+t*(7/4/4)$
[mm] $\bruch{2}{3}(2+7t)-\bruch{2}{3}(1+4t)+\bruch{1}{3}*4t-2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 4$
$2(2+7t)-2(1+4t)+4t-6 = [mm] \pm [/mm] 12$
$4+14t-2-8t+4t-6 = [mm] \pm [/mm] 12$
$10t-4 = [mm] \pm [/mm] 12$
$10t = 4 [mm] \pm [/mm] 12$
$5t = 2 [mm] \pm [/mm] 6$
[mm] $t=\bruch{2 \pm 6}{5}$
[/mm]
Hier kannst du einmal das obere Vorzeichen, und das andere Mal das untere Vorzeichen verwenden. Mit dem $+$ erhält man deine Lösung, mit dem $-$ dann noch die andere Lösung.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 23.06.2004 | | Autor: | ziska |
hi!
Ich danke dir. Das mit dem Abstand, ob 4 oder -4, hatte ich mir auch schon überlegt. Wenn ich jetzt richtig denke, dann müsste der andere Punkt doch einfach Q(-66/5; -37/5; -32/5) sein, da die Gerade doch stets dieselbe Steigung besitzt. Das bedeutet für mich, dass an dem Schnittpunkt so eine Art Spiegelung zu sehen ist. Verstehst du, was ich meine? okay, dann nochmals herzlichen Dank!!!!
LG,
ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
> hi!
> Ich danke dir. Das mit dem Abstand, ob 4 oder -4, hatte ich
> mir auch schon überlegt. Wenn ich jetzt richtig denke, dann
> müsste der andere Punkt doch einfach Q(-66/5; -37/5; -32/5)
> sein, da die Gerade doch stets dieselbe Steigung besitzt.
Halt, halt. das stimmt natürlich nicht!!
Das würde nur so stimmen, wenn sowohl die Gerade als auch die Ebene durch den Koordinatenursprung laufen würden! Das ist aber nicht der Fall!!
Du solltest wirklich den 2. Wert des Geraden-Parameters in der Ebenen-Abstandsgleichung einsetzen und so den korrekten Wert ermitteln.
Stell dir doch, um das nochmals zu veranschaulichen, einfach mal diese vereinfachte Siatuation vor: Die Ebene sei Parallel zur x-y-Ebene und liege auf der Höhe $z=10$. Die Gerade sei just die z-Achse, gesucht sind die Punkte mit Abstand $1$ von der Ebene. Dann liegt doch ein Punkt bei $(0,0,9$ und der andere bei $(0,0,11)$, was mit deiner Ueberlegung nicht übereinstimmt!
> Das bedeutet für mich, dass an dem Schnittpunkt so eine Art
> Spiegelung zu sehen ist. Verstehst du, was ich meine? okay,
Ja, es ist schon so eine Art Spiegelung, wenn du weisst, was ich meine, aber nicht mit Zentrum Koordinatenursprung, sondern mit Zentrum Schnittpunkt Gerade/Ebene.
> dann nochmals herzlichen Dank!!!!
Gern geschehen!
Mit lieben Grüssen
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