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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 21.07.2010 | | Autor: | phychem |
Hallo
Vorweg: Hier ist nicht von [mm] L_{p}-Räumen, [/mm] sondern von den [mm] l_{p}-Räumen [/mm] die Rede.
In den Grundkapiteln meines Analysis-Lehrbuches und den Grundkapitel meines Lin.Alg.-Buches findet man zwei sehr ähnliche Übungsaufgaben, die ich einfach nicht zu lösen weiss. Es geht dabei um die [mm] l_{p}-Räume. [/mm] Diese sind für [mm] p\in[1,\infty) [/mm] definiert durch:
[mm] l_{p}:=\{(x_{k})\in s | (\summe_{k=0}^{\infty}|x_{k}|^{p})^{1/p} <\infty \}
[/mm]
Trivialerweise bedeutet dies:
[mm] l_{p}=\{(x_{k})\in s | \summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty \}=\{(x_{k})\in s | \summe_{k}|x_{k}|^{p} \mbox{ ist konvergent} \}
[/mm]
Für p=1 erhält man offensichtlich die Menge aller Summandenfolgen, deren Partialsummenfolge/Reihe absolut konvergiert.
[mm] l_{\infty} [/mm] definiert man als den Menge aller beschränkten Zahlenfolgen. Diese bildet (wie ich bewiesen habe) mit der Supremumsnorm einen normierten Vektorraum.
Auf den Mengen [mm] l_{p} [/mm] mit [mm] p\in[1,\infty) [/mm] definiert man nun folgende Normen:
[mm] \parallel (x_{k}) \parallel [/mm] := [mm] (\summe_{k=0}^{\infty}|x_{k}|^{p})^{1/p}
[/mm]
Man soll nun beweisen, dass auf jeder Menge [mm] l_{p} [/mm] mit der eben definierten Norm ein normierter Vektorraum definiert ist. Ausserdem ist zu zeigen, dass [mm] l_{p_{a}} [/mm] für [mm] p_{a} \le p_{b} [/mm] ein Untervektorraum von [mm] l_{p_{b}} [/mm] ist. Dies soll auch für [mm] p_{b}=\infty [/mm] bewiesen werden.
Zuletzt ist noch zu zeigen, dass diese Räume vollständig sind und dass die auf [mm] l_{\infty} [/mm] definierte Supremumsnorm nicht äquivalent zu den anderen [mm] l_{p}-Normen [/mm] ist.
Irgendwie steh ich etwas an. Schon der Nachweis einer Vektorraumstruktur auf [mm] l_{p} [/mm] mit [mm] p\in[1,\infty) [/mm] will mir nicht gelingen:
Abgeschlossenheit der Addition: Es sei
[mm] \summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty [/mm] (i)
[mm] \summe_{k}|y_{k}|^{p} <\infty [/mm] (ii)
Zu beweisen ist nun:
[mm] \summe_{k}|x_{k}+y_{k}|^{p} <\infty [/mm] (iii)
Aber wie? Ich weiss zwar, dass die Summe der beiden konvergenten Reihen (i) und (ii) wieder konvergent ist, d.h.
[mm] \summe_{k}(|x_{k}|^{p}+|y_{k}|^{p}) <\infty [/mm]
gilt, aber daraus kann ich ja nicht auf (iii) schliessen. Ein Ähnliches Problem zeigt sich beim Nachweis der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation.
Auch der Nachweis der Inklusionen gelingt mit nicht. Lediglich [mm] l_{1} \subseteq l_{\infty} [/mm] kann ich beweisen:
Alle Summandenfolgen, die zu [mm] l_{1} [/mm] gehören, bilden Reihen, die absolut konvergent sind. Da [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] vollständig ist, muss jede dieser Reihen konvergent sein. Folglich konvergiert jede zu [mm] l_{1} [/mm] gehörende Folge gegen Null. Da Nullfolgen - wie alle konvergenten Folgen - beschränkt sind, sind die Elemente von [mm] l_{1} [/mm] auch in [mm] l_{\infty} [/mm] enthalten.
Wie ich aber im allgemeinen Fall eine Inklusion nachweise, versteh ich nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Vorweg: Hier ist nicht von [mm]L_{p}-Räumen,[/mm] sondern von den
> [mm]l_{p}-Räumen[/mm] die Rede.
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> In den Grundkapiteln meines Analysis-Lehrbuches und den
> Grundkapitel meines Lin.Alg.-Buches findet man zwei sehr
> ähnliche Übungsaufgaben, die ich einfach nicht zu lösen
> weiss. Es geht dabei um die [mm]l_{p}-Räume.[/mm] Diese sind für
> [mm]p\in[1,\infty)[/mm] definiert durch:
>
> [mm]l_{p}:=\{(x_{k})\in s | (\summe_{k=0}^{\infty}|x_{k}|^{p})^{1/p} <\infty \}[/mm]
>
> Trivialerweise bedeutet dies:
>
> [mm]l_{p}=\{(x_{k})\in s | \summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty \}=\{(x_{k})\in s | \summe_{k}|x_{k}|^{p} \mbox{ ist konvergent} \}[/mm]
>
> Für p=1 erhält man offensichtlich die Menge aller
> Summandenfolgen, deren Partialsummenfolge/Reihe absolut
> konvergiert.
>
> [mm]l_{\infty}[/mm] definiert man als den Menge aller beschränkten
> Zahlenfolgen. Diese bildet (wie ich bewiesen habe) mit der
> Supremumsnorm einen normierten Vektorraum.
>
> Auf den Mengen [mm]l_{p}[/mm] mit [mm]p\in[1,\infty)[/mm] definiert man nun
> folgende Normen:
>
> [mm]\parallel (x_{k}) \parallel[/mm] :=
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}|x_{k}|^{p})^{1/p}[/mm]
>
> Man soll nun beweisen, dass auf jeder Menge [mm]l_{p}[/mm] mit der
> eben definierten Norm ein normierter Vektorraum definiert
> ist. Ausserdem ist zu zeigen, dass [mm]l_{p_{a}}[/mm] für [mm]p_{a} \le p_{b}[/mm]
> ein Untervektorraum von [mm]l_{p_{b}}[/mm] ist. Dies soll auch für
> [mm]p_{b}=\infty[/mm] bewiesen werden.
>
> Zuletzt ist noch zu zeigen, dass diese Räume vollständig
> sind und dass die auf [mm]l_{\infty}[/mm] definierte Supremumsnorm
> nicht äquivalent zu den anderen [mm]l_{p}-Normen[/mm] ist.
>
>
> Irgendwie steh ich etwas an. Schon der Nachweis einer
> Vektorraumstruktur auf [mm]l_{p}[/mm] mit [mm]p\in[1,\infty)[/mm] will mir
> nicht gelingen:
>
> Abgeschlossenheit der Addition: Es sei
> [mm]\summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty[/mm] (i)
> [mm]\summe_{k}|y_{k}|^{p} <\infty[/mm] (ii)
> Zu beweisen ist nun:
> [mm]\summe_{k}|x_{k}+y_{k}|^{p} <\infty[/mm] (iii)
> Aber wie? Ich weiss zwar, dass die Summe der beiden
> konvergenten Reihen (i) und (ii) wieder konvergent ist,
> d.h.
> [mm]\summe_{k}(|x_{k}|^{p}+|y_{k}|^{p}) <\infty[/mm]
> gilt, aber daraus kann ich ja nicht auf (iii) schliessen.
Dafür brauchst Du die Minkowskische Ungleichung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung
(den Wiki-Artikel aber ganz lesen !)
> Ein Ähnliches Problem zeigt sich beim Nachweis der
> Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation.
Na, na, ist das wirklich ein Problem ?
Ist [mm] \summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty [/mm] und t ein Skalar, so ist
[mm] $\summe_{k}|t*x_{k}|^{p} [/mm] = [mm] |t|^p*\summe_{k}|x_{k}|^{p} <\infty [/mm] $
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> Auch der Nachweis der Inklusionen gelingt mit nicht.
> Lediglich [mm]l_{1} \subseteq l_{\infty}[/mm] kann ich beweisen:
> Alle Summandenfolgen, die zu [mm]l_{1}[/mm] gehören, bilden
> Reihen, die absolut konvergent sind. Da [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm]
> vollständig ist, muss jede dieser Reihen konvergent sein.
> Folglich konvergiert jede zu [mm]l_{1}[/mm] gehörende Folge gegen
> Null. Da Nullfolgen - wie alle konvergenten Folgen -
> beschränkt sind, sind die Elemente von [mm]l_{1}[/mm] auch in
> [mm]l_{\infty}[/mm] enthalten.
> Wie ich aber im allgemeinen Fall eine Inklusion nachweise,
> versteh ich nicht...
Sei 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q. Zu zeigen ist : [mm] l^p \subseteq l^q. [/mm] Dazu genügt es zu zeigen:
[mm] $||x||_q \le ||x||_p [/mm] $ für jedes x [mm] \in l^p.
[/mm]
Dazu nimm ein x [mm] \in l^p [/mm] und betrachte zunächst den Fall [mm] $||x||_p=1$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mi 21.07.2010 | | Autor: | phychem |
Achso. Die Minkowski-Ungleichung war mir bisher unbekannt, da sie erst in einem späteren Kapitel eingeführt wird. Mit ihr ist der Beweis nun problemlos durchführbar.
Bei der Skalarmultiplikation hab ich den Fehler gemacht, nicht mit den Folgen [mm] (x_{k}), [/mm] sondern den Folgen [mm] (|x_{k}|^{p}) [/mm] zu rechnen. Nun ist aber auch das geklärt.
Auch der Nachweis der Inklusionen ist mir nun gelungen.
Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Achso. Die Minkowski-Ungleichung war mir bisher unbekannt,
> da sie erst in einem späteren Kapitel eingeführt wird.
> Mit ihr ist der Beweis nun problemlos durchführbar.
>
> Bei der Skalarmultiplikation hab ich den Fehler gemacht,
> nicht mit den Folgen [mm](x_{k}),[/mm] sondern den Folgen
> [mm](|x_{k}|^{p})[/mm] zu rechnen. Nun ist aber auch das geklärt.
>
> Auch der Nachweis der Inklusionen ist mir nun gelungen.
Das freut mich
FRED
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> Danke für die Hilfe.
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