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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 20.12.2009 | | Autor: | Phecda |
Hey
hier eine kleine Frage zur Diskussion:
betrachtet werde die Funktion [mm] f:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x,y) = [mm] x^2e^{y^2} [/mm] + [mm] y^2e^{x^2}.
[/mm]
Man zeige M := f^-1(1) ist eine kompakte eindim [mm] C^\infty- [/mm] Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR^2
[/mm]
Okay wie ist die Taktik?
Zuerst wollte ich etwas mit dem Satz über implizite Funktionen machen? Kann man hierhingehend argumentieren?
Alternativ:
Beschreibung der Mannigfaltigkeit durch Gleichungen:
Zu jedem p [mm] \in [/mm] M gibt offene Mengen p [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] und eine stetig diff. Abbildung g: U -> [mm] \IR [/mm] mit
U [mm] \cap [/mm] M = { x [mm] \in [/mm] U| g(x)=0}
und der Rang Dg(x) = 1.
Ich definiere einfach g(x,y) = f(x,y) - 1.
Der Rang wird wohl 1 sein, beide Ableitungen verschwinden nur bei (0,0), der Ursprung liegt aber nicht in U bzw. M.
Ist das okay so?
mh kann mir jmd etwas auf die sprünge helfen, und wie ich auch zeige, dass es eine kompakte mannigfaltigkeit ist.
bzw. was heißt, dass es kompakt ist?
jede offene Überdeckung von der Mannigfaltigkeit hat eine endl. Teilüberdeckung?
mhh
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> Hey
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> hier eine kleine Frage zur Diskussion:
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> betrachtet werde die Funktion [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x,y) =
> [mm]x^2e^{y^2}[/mm] + [mm]y^2e^{x^2}.[/mm]
> Man zeige M := f^-1(1) ist eine kompakte eindim [mm]C^\infty-[/mm]
> Untermannigfaltigkeit von [mm]\IR^2[/mm]
>
> Okay wie ist die Taktik?
> Zuerst wollte ich etwas mit dem Satz über implizite
> Funktionen machen? Kann man hierhingehend argumentieren?
>
> Alternativ:
> Beschreibung der Mannigfaltigkeit durch Gleichungen:
> Zu jedem p [mm]\in[/mm] M gibt offene Mengen p [mm]\in[/mm] U [mm]\subset[/mm] und
> eine stetig diff. Abbildung g: U -> [mm]\IR[/mm] mit
> $\ U [mm] \cap [/mm] M\ =\ [mm] \{ x \inU\ |\ g(x)=0\}$ [/mm]
> und der Rang Dg(x) = 1.
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> Ich definiere einfach g(x,y) = f(x,y) - 1.
> Der Rang wird wohl 1 sein, beide Ableitungen verschwinden
> nur bei (0,0), der Ursprung liegt aber nicht in U bzw. M.
> Ist das okay so?
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> mh kann mir jmd etwas auf die sprünge helfen, und wie ich
> auch zeige, dass es eine kompakte mannigfaltigkeit ist.
> bzw. was heißt, dass es kompakt ist?
> jede offene Überdeckung von der Mannigfaltigkeit hat eine
> endl. Teilüberdeckung?
> mhh
Hallo Phecda,
man sieht zuerst, dass die Menge M sehr symmetrisch sein
muss, denn wenn [mm] P(x,y)\in{M} [/mm] ist, so müssen auch die
Punkte (x,-y),(-x,y),(-x,-y) in M liegen.
Um M zu untersuchen, kann man sich also zunächst
auf jene Lösungen mit [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] y\ge0 [/mm] beschränken,
also auf den Teil von M im ersten Quadranten.
In diesem Fall sind die Abbildungen [mm] x\mapsto{x^2} [/mm] sowie [mm] y\mapsto{y^2}
[/mm]
bijektiv. Deshalb würde ich dir vorschlagen, zunächst
einmal [mm] u:=x^2 [/mm] und [mm] v:=y^2 [/mm] zu substituieren und die
Gleichung [mm] u*e^v+v*e^{u}=1 [/mm] zu untersuchen - natür-
lich auch auf den Bereich [mm] u\ge0 [/mm] und [mm] v\ge0 [/mm] beschränkt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 20.12.2009 | | Autor: | Phecda |
okay das ist eine gute idee.
g(u,v) = [mm] u\cdot{}e^v+v\cdot{}e^{u} [/mm] -1=0
wir haben für die Jacobimatrix die Komponenten:
[mm] ve^u [/mm] + [mm] e^v [/mm] , sowie
[mm] e^u [/mm] + [mm] ue^v [/mm] .
Die Jacobimatrix wird null, und somit der Rang, wenn 1=uv
d.h. für u=1/v bekommen wir Probleme.
uv=1 erfüllt jedoch nicht g.
Also sind die Vorraussetzungen für eine Mannigfaltigkeit erfüllt.
Was heißt nun kompakt?
ich versteh eins nicht. was ist die Mannigfaltigkeit überhaupt. steh aufm schlauch. brauch ich nicht eine abbildung von [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^2?
[/mm]
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> okay das ist eine gute idee.
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> g(u,v) = [mm]u\cdot{}e^v+v\cdot{}e^{u}[/mm] -1=0
> wir haben für die Jacobimatrix die Komponenten:
>
> [mm]ve^u[/mm] + [mm]e^v[/mm] , sowie
> [mm]e^u[/mm] + [mm]ue^v[/mm] .
> Die Jacobimatrix wird null, und somit der Rang, wenn 1=uv
> d.h. für u=1/v bekommen wir Probleme.
>
> uv=1 erfüllt jedoch nicht g.
> Also sind die Voraussetzungen für eine Mannigfaltigkeit
> erfüllt.
> Was heißt nun kompakt?
> ich versteh eins nicht. was ist die Mannigfaltigkeit
> überhaupt. steh aufm schlauch. brauch ich nicht eine
> abbildung von [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR^2?[/mm]
Guten Tag Phecda,
zur theoretischen Definition und Behandlung des
Begriffs der Mannigfaltigkeit muss ich zwar selber
wieder mal ein wenig nachlesen, jedoch lässt sich
die vorliegende Mannigfaltigkeit M leicht geometrisch
charakterisieren.
$\ [mm] M:\quad x^2e^{y^2}+y^2e^{x^2}=1$ [/mm]
ist eine geschlossene Kurve in der x-y-Ebene (topo-
logisch äquivalent zu einem Kreis). Sie ist in der
Umgebung jedes ihrer Punkte beliebig oft differen-
zierbar.
Kompakt ist M, weil sie abgeschlossen und als Teil-
menge von [mm] \IR^2 [/mm] beschränkt ist. Letzteres kann
man leicht zeigen.
Um zu zeigen, dass M eine eindimensionale Unter-
mannigfaltigkeit von [mm] \IR^2 [/mm] ist, könnte man nachweisen,
dass man die Gleichung von M in der Umgebung von
jedem ihrer Punkte theoretisch nach x oder nach y
auflösen kann. Siehe ![[]](/images/popup.gif) implizit definierte Funktion.
LG Al-Chw.
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