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so hallo an alle.
Folgende fragestellung:
gibt es eine funktion mit f(x)= [mm] ax^n [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] bei der der funktionsgraph zwischen dem nullpunkt O und einem kurvenpunkt P das dreieck OPQ halbiert, wenn Q der fußpunkt des lotes von P auf die D-achse ist?
(ich denke mal , dass die D-achse die x-achse sein soll)
vorab hab ich eine frage  . eigentlich haben doch die punkte P und Q denselben x-wert, oder? wenn ja dann suchen wir eine funktion, dessen integral im intervall 0 bis (x-wert von P,Q) den flächeninhalt hat, wie die hälfte des flächeninhaltes des dreiecks OPQ. soo leider weiß ich nu nich ganz weiter. danke im vorraus mfg satanicskater
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Hi, satanicskater,
sei [mm] P(x/a*x^{2})
[/mm]
Dann hat das Dreieck OPQ (für a > 0; sonst Betrag) den Flächeninhalt
[mm] \bruch{1}{2}*x*ax^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*ax^{n+1}.
[/mm]
Davon die Hälfte: [mm] \bruch{1}{4}*ax^{n+1}. [/mm] (***)
Nun zur Fläche unterhalb des Graphen von y = [mm] ax^{n} [/mm] zwischen 0 und Q:
[mm] \integral_{0}^{x}{at^{n}dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}*a*x^{n+1} [/mm]
Dies soll für alle x gleich sein mit (***)
Wie man sofort sieht, muss dann n=3 sein.
mfG!
Zwerglein
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hää?? wie? hast du jetzt für P einfach irgendein wert genommen, oder wie? und warum is n immer 3?? das hab ich noch nich ganz verstanden. trotzdem vielen dank
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Hi, satanicskater,
> hää?? wie? hast du jetzt für P einfach irgendein wert
> genommen, oder wie?
Nein, nein: P hat die Koordinaten [mm] P(x/ax^{n}), [/mm] Q liegt auf der x-Achse: Q(x/0)
x ist VARIABEL (aber natürlich positiv), daher hat "das Dreieck" (in Wirklichkeit sind's ja unendlich viele) die Kathetenlängen x (waagrecht) und [mm] ax^{n} [/mm] (senkrecht)
> und warum is n immer 3?? das hab ich
> noch nich ganz verstanden.
Und wenn nun gelten soll: [mm] \bruch{1}{n+1}*a*x^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*a*x^{n+1} [/mm] (für alle x > 0)
Dann brauchst Du nur noch durch [mm] a*x^{n+1} [/mm] zu dividieren und schon kannst Du n=3 berechnen!
All clear now?
mfG!
Zwerglein
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hallo,
mag sein dass ich voll falsch liege, aber ich hab das so verstanden, dass der graph das dreieck halbiert.
angenommen, ich hab jetzt ein dreieck mit O (0/0) und Q (4/0), nur als beispiel.
der graph geht durch P, welcher bei (4/y>0) liegt .
müsste dann der graph nicht die x-achse irgendwo zwischen 0 und 4 schneiden?
wie kannst du also den flächeninhalt unter der funktion zwischen 0 und 4 berechnen? dann würde ja entweder der graph über dem dreieck verlaufen, wodurch er es nicht teilen könnte, oder absolut eine nach oben geöffnete parabelform annehmen, die durch glück in ihrer biegung das dreieck halbiert, also erst durch den ursprung geht und dann durch P, was ich für unwahrscheinlich halte oder der graph ist die gerade durch 0 und P, wodurch er es wieder nicht teilen würde.
also viel wahrscheinlicher, dass der graph die x achse nicht in (0/0) schneidet.
weißt du was ich meine?
wenn ich falsch liege, sag mir bitte wo?!!
lieber gruß judith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 25.09.2005 | | Autor: | diejudith |
bitte meine obige mitteilung als frage behandeln, weiß nicht wie man das umeditiert.
gruss judith
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Hi, Judith,
> hallo,
> mag sein dass ich voll falsch liege, aber ich hab das so
> verstanden, dass der graph das dreieck halbiert.
> angenommen, ich hab jetzt ein dreieck mit O (0/0) und Q
> (4/0), nur als beispiel.
> der graph geht durch P, welcher bei (4/y>0) liegt .
> müsste dann der graph nicht die x-achse irgendwo zwischen
> 0 und 4 schneiden?
> wie kannst du also den flächeninhalt unter der funktion
> zwischen 0 und 4 berechnen? dann würde ja entweder der
> graph über dem dreieck verlaufen, wodurch er es nicht
> teilen könnte, oder absolut eine nach oben geöffnete
> parabelform annehmen, die durch glück in ihrer biegung das
> dreieck halbiert, also erst durch den ursprung geht und
> dann durch P, was ich für unwahrscheinlich halte oder der
> graph ist die gerade durch 0 und P, wodurch er es wieder
> nicht teilen würde.
> also viel wahrscheinlicher, dass der graph die x achse
> nicht in (0/0) schneidet.
Ich glaube, ich verstehe Deine Probleme.
Also:
(1) Der Punkt P liegt LAUT VORAUSSETZUNG auf dem Graphen der Funktion und ist gleichzeitig der 3. Eckpunkt des Dreiecks.
(2) Der Graph der Funktion läuft durch den Ursprung O(0/0) und durch den Punkt P.
(3) Der Graph schneidet für x > 0 die x- Achse NICHT!
Berechnet wird die Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse, dem O-Punkt und der senkrechten Geraden durch den Punkt P (und Q) verläuft.
(4) Und dass dabei die Hälfte der Dreiecksfläche rauskommt, ist eben nur für n=3 der Fall!
Vielleicht spielen wir Dein Beispiel mal durch - und zwar mit der Funktion y = [mm] x^{3}.
[/mm]
Das Dreieck hat die Eckpunkte O(0/0), P(4/64) Q(4/0).
(Skizziere Dir mal die Situation! Musst halt die Einheiten auf der y-Achse entsprechend verkleinern!)
Flächeninhalt dieses Dreiecks: 0,5*4*64 = 128.
Fläche unterhalb des Graphen der Funktion zwischen x=0 und x=4:
[mm] \integral_{0}^{4}{x^{3}dx} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{4}x^{4}]_{0}^{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}4^{4} [/mm] = 64.
Dies ist - wie gewünscht - die Hälfte von 128.
Klaro?
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 25.09.2005 | | Autor: | diejudith |
danke,
ich hab das einfach nicht so gelesen. deutsch ist manchmal zweideutig.
ein graph, der ein dreieck zwischen 0 und P halbiert, hätte für mich jetzt nicht zwangsläufig durch den ursprung gehen müssen, sondern hätte es rein vom deutschen verständnis her irgendwo zwischen 0 und P halbieren können.
naja, deutsch ist ja gott sei dank nicht mathe. so wie ich das aufgefasst hatte, wäre deine lösung ein spezialfall gewesen, nicht falsch, hab ich nicht gemeint, aber eben nicht allgemein.
aber du wirst recht haben, er wird wohl durch den ursprung gehen. hätte ich die aufgabe geschrieben, hätte ich wohl verdeutlicht, dass ein graph durch die punkte 0 und p verläuft und damit das dreieck halbiert. wäre doch deutlicher oder?
lieber gruß
judith
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also aus der aufgabenstellung geht nich hervor, dass die funktion durch den nullpunkt geht. nur, dass der punkt O im nullpunkt liegt, sprich die koordinaten (0/0) hat-...sorry aber ich hab die aufgabe nur ausm buch abgeschrieben... wobei doch zwerglein die aufgabe gelöst hat, weil er/sie eine funktion gefunden hat die, die fläche des dreickes halbiert, oder<?
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Hallo SatanicsKater!
Aber alle Funktionen [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^n$ [/mm] gehen doch durch den Ursprung $O \ (0|0)$, da ja gilt:
[mm] $f_a(0) [/mm] \ = \ [mm] a*0^n [/mm] \ = \ 0$
Gruß vom
Roadrunner
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Stimmt, ich idiot dankeschöönn amn alle... dioe hp is einfach der hammer..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Mo 26.09.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Judith,
hast du dir die Funktion und das Dreieck mal gezeichnet? z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann kannst du ablesen, dass die beiden Flächenstücke exakt gleich groß, nämlich 4 FE, sind.
Die Dreiecksfläche muss ja nicht notwendigerweise durch eine gerade Linie geteilt werden!
Vielleicht hilft dir das beim Verständnis?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ich hab ne allerletzte frage: wie kommst du auf das integral? sorry ich kanns leider nich darstellen. also ich meine [mm] 1/n+1*a*x^n+1???
[/mm]
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Hallo ...
Hier wurde schlicht und ergreifend die  Potenzregel für die Integralrechnung angewandt:
[mm] $\integral{a*x^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\integral{x^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\bruch{x^{n+1}}{n+1} [/mm] \ + \ C$
Gruß vom
Roadrunner
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hehe.. die hatten wir leider noch nciht :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mo 26.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kater
Wenn ihr die Aufgabe habt, dann habt ihr sicher Integrale gehabt, und vielleicht auch, dass man einfach "aufleiten" muss, also eine fkt suchen, deren Ableitung [mm] a*x^{n} [/mm] ist. Wenn man gut ableiten kann, dann weiss man:
[mm] (a*x^{n+1})'=a*(n+1)*x^{n} [/mm] und da ist nur noch die n+1 falsch. deshalb:
[mm] (\bruch{1}{n+1}*a*x^{n+1})'=a*x^{n}.
[/mm]
Wenn ihr das nicht gehabt habt, kann man die Aufgabe nicht lösen. Oder was habt ihr grade in mathe gemacht?
Gruss leduart
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