max. Abweichung 2er Graphen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Ermitteln sie die Stelle, an der die Funktionswerte von f(x) und g(x) am stärksten voneinander Abweichen.
f(x) = [mm] \bruch{x^3}{8}-x^2+16x [/mm]
g(x) = 1,5x [mm] *e^{-0,3x^2}
[/mm]
Bei g(x) wurde nicht gerundet.
Nun dachte ich mir, das berechnet man so durch:
d(x) = f(x) - g(x) = [mm] \bruch{x^3}{8}-x^2+16x [/mm] -1,5x [mm] *e^{-0,3x^2}
[/mm]
d'(x) = ... [mm] \gdw x_{E} [/mm]
Und ich habe die Stelle. Richtig?
Muss man nun noch die zweite Ableitung bilden, um zu überprüfen, dass es ein Maximum ist?
Zur selben Aufgabe: Wie groß ist die maximale Abweichung?
Und wie macht man das? Einfach [mm] d(x_{e}) [/mm] = maximale Abweichung?
Bei der Sache mit dem Maximum fällt mir übrigens noch etwas ein
Es gibt ja:
relatives Maximum, lokales Maximum, globales Maximum. Und dann war da noch etwas, komme gerade nicht drauf.
In der Mathebank finde ich nur relatives Maximum. Nun also die Frage
relatives Maximum ist nur eine andere Bezeichnung für globales Maximum?
Und lokales Maximum halt mit den anderen Begriff.
Ich danke euch für jede Hilfe.
Grüße Johann
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Hallo Johann!
> Hallo.
> Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
>
> Ermitteln sie die Stelle, an der die Funktionswerte von
> f(x) und g(x) am stärksten voneinander Abweichen.
> f(x) = [mm]\bruch{x^3}{8}-x^2+16x[/mm]
> g(x) = 1,5x [mm]*e^{-0,3x^2}[/mm]
> Bei g(x) wurde nicht gerundet.
>
> Nun dachte ich mir, das berechnet man so durch:
>
> d(x) = f(x) - g(x) = [mm]\bruch{x^3}{8}-x^2+16x[/mm] -1,5x
> [mm]*e^{-0,3x^2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau - das ist eine sogenannte Differenzenfunktion - jedenfalls haben wir das auf der Schule immer so genannt. Und du möchtest ja jetzt genau ein Maximum dieser Differenz berechnen, also einen Hochpunkt.
> d'(x) = ... [mm]\gdw x_{E}[/mm]
>
> Und ich habe die Stelle. Richtig?
Das verstehe ich nicht so ganz - was ist denn [mm] x_E? [/mm] Du musst die erste Ableitung gleich Null setzen, dann erhältst du die Stelle.
> Muss man nun noch die zweite Ableitung bilden, um zu
> überprüfen, dass es ein Maximum ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja - das sollte man immer machen!
> Zur selben Aufgabe: Wie groß ist die maximale Abweichung?
> Und wie macht man das? Einfach [mm]d(x_{e})[/mm] = maximale
> Abweichung?
Genau. Denn die Funktion d(x) gibt dir ja zu jedem x-Wert genau den Abstand zwischen beiden Funktionen. Und wenn du den x-Wert der Stelle kennst, an dem die Abweichung maximal ist, musst du nur noch diesen x-Wert einsetzen, um die maximale Abweichung zu erhalten.
> Bei der Sache mit dem Maximum fällt mir übrigens noch etwas
> ein
>
> Es gibt ja:
> relatives Maximum, lokales Maximum, globales Maximum. Und
> dann war da noch etwas, komme gerade nicht drauf.
> In der Mathebank finde ich nur relatives Maximum. Nun also
> die Frage
>
> relatives Maximum ist nur eine andere Bezeichnung für
> globales Maximum?
> Und lokales Maximum halt mit den anderen Begriff.
Also, relatives Maximum und lokales Maximum müssten dasselbe sein. Es bedeutet, dass es zwar ein Hochpunkt ist, dass die Funktion aber trotzdem an einer anderen Stelle noch "größer" sein kann, es also noch einen anderen "höheren" Hochpunkt geben kann. Und ein globales Maximum ist dann das höchste aller Maxima - siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) hier. Was es da sonst noch geben soll, weiß ich nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Bastiane. Danke dir.
Das mit dem gleich null setzen hatte ich vergessen aufzuschreiben, meinte ich aber. Weiterhin meinte ich auch das absolute Maximum, war mir in dem Augenblick aber nicht eingefallen.
Allerdings hätte ich da noch eine Frage zu den relativen Maximum etc. Ich werde daraus nicht schlau.
Also ist ein globales Maximum/Minimum auch immer ein lokales Maximum/Minimum?
Wie [mm] x^2, [/mm] das hat ein lokales (sogar ein globales) Minimum, darf man das so sagen?
Danke, Johann
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Hallo Johann!
> Hallo Bastiane. Danke dir.
> Das mit dem gleich null setzen hatte ich vergessen
> aufzuschreiben, meinte ich aber. Weiterhin meinte ich auch
Gut - das dachte ich mir fast. 
> das absolute Maximum, war mir in dem Augenblick aber nicht
> eingefallen.
Stimmt - war mir auch nicht eingefallen. Das ist dann das Gleiche wie das globale Maximum.
> Allerdings hätte ich da noch eine Frage zu den relativen
> Maximum etc. Ich werde daraus nicht schlau.
> Also ist ein globales Maximum/Minimum auch immer ein
> lokales Maximum/Minimum?
Würde ich so sagen, ja. Anders könnte man es noch ausdrücken, dass ein lokales Maximum ein Maximum auf einem bestimmten Intervall ist. Wenn du also eine Funktion mit mehreren Maxima hast, und dir aber nur die Umgebung eines Maximums anschaust, in der es wirklich das einzige ist, dann ist es für dieses Intervall quasi ein globales Maximum.
Oje - hoffentlich habe ich dich jetzt nicht verwirrt.
> Wie [mm]x^2,[/mm] das hat ein lokales (sogar ein globales) Minimum,
> darf man das so sagen?
Also, wenn du dich nicht festlegen willst, ob es ein globales ist oder nicht, dann kannst du einfach nur lokales sagen. Wenn aber wichtig ist, dass es ein globales ist, dann würde ich nur globales sagen, weil es ja dann sowieso ein lokales ist.
Aber ich weiß nicht, ob diese Unterscheidung wirklich soo wichtig ist. Du solltest dich nur nicht wundern, wenn du z. B. eine Funktion höheren Grades hast (wo es also mehr als ein Maximum gibt) und du einen y-Wert findest, der größer ist als der y-Wert des Maximums. Das kann dann nämlich trotzdem sein, weil es ja dann noch ein zweites Maximum gibt, und dort ist der y-Wert dann ja evtl. auch größer als der des ersten Maximums.
Aber wie gesagt - ich weiß nicht, ob es soo wichtig ist.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Johann,
> Allerdings hätte ich da noch eine Frage zu den relativen
> Maximum etc. Ich werde daraus nicht schlau.
> Also ist ein globales Maximum/Minimum auch immer ein
> lokales Maximum/Minimum?
nein:
wenn das globale Maximum zugleich ein Randmaximum ist, dann ist es i.a. kein lokales Maximum, weil die Bedingung f'(x) = 0 in einer Umgebung der Extremstelle nicht erfüllt ist. (es gibt ja keine Umgebung.)
> Wie [mm]x^2,[/mm] das hat ein lokales (sogar ein globales) Minimum,
> darf man das so sagen?
ja, das Minimum von [mm] $x^2$ [/mm] ist zugleich auch das globale Minimum, denn es gibt keinen tieferen Funktionswert.
Wenn du nun den Definitionbereich einschränkst auf [-4;4], dann hast du bei x = [mm] \pm [/mm] 4 zwei globale Maxima, aber kein zusätzliches lokales Maximum.
Ich habe die Definition in der  MatheBank noch ein wenig ergänzt...: Extremstelle
Gruß informix
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Hallo Johann,
> >
>
> > nein:
> > wenn das globale Maximum zugleich ein Randmaximum ist,
> > dann ist es i.a. kein lokales Maximum, weil die Bedingung
> > f'(x) = 0 in einer Umgebung der Extremstelle nicht erfüllt
> > ist. (es gibt ja keine Umgebung.)
> >
> > ja, das Minimum von [mm]x^2[/mm] ist zugleich auch das globale
> > Minimum, denn es gibt keinen tieferen Funktionswert.
> > Wenn du nun den Definitionbereich einschränkst auf
> [-4;4],
> > dann hast du bei x = [mm]\pm[/mm] 4 zwei globale Maxima, aber kein
> > zusätzliches lokales Maximum.
> >
> > Ich habe die Definition in der MatheBank noch ein wenig
> > ergänzt...: Extremstelle
>
> Das ist ja sehr komplex. Ich harke es einfach mal so ab,
> dass sich lokale Minima nur auf einen Defintionsbereich
> beziehen.
Hier gibt's nichts zu harken! Du solltest dich schon bemühen, die Unterschiede zu verstehen:
lokale Extrema werden immer in einer (symmetrischen) Umgebung definiert,
globale Extrema auf dem ganzen Definitionsbereich und
Randextrema liegen immer am Rand - wie der Name schon sagt. 
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 30.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, informix,
hab's mal "nachgebessert"!
So auf den ersten Blick passt's mir jetzt!
Aber bitte: Schau auch noch mal drüber!
Nachtrag: Nur mit den "Randextrema" muss ich mir noch was überlegen!
(1. Es gibt - ernstzunehmende! - Bücher, die sie zu den relativen Extema hinzunehmen.
2. Zudem bin ich der Auffassung, dass am Rand "fast immer" Extrema vorliegen - waagrechter Verlauf mal ausgenommen. Also hier fehlt mir noch was! Aber da brauch' ich nochj 'n Weilchen!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 30.10.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Zwerglein,
>
> hab's mal "nachgebessert"!
>
> So auf den ersten Blick passt's mir jetzt!
>
> Aber bitte: Schau auch noch mal drüber!
>
>
> Nachtrag: Nur mit den "Randextrema" muss ich mir noch was
> überlegen!
> (1. Es gibt - ernstzunehmende! - Bücher, die sie zu den
> relativen Extema hinzunehmen.
das ist mir neu. Im Unterricht erwähne ich sie meist nur so am Rande, weil sie in der weiteren Diskussion fast keine Rolle spielen - außer bei den Anwendungsaufgaben (=Extremwertaufgaben). Dort sollte man stets auch die Ränder untersuchen, mir fehlt es allerdings an Beispielen, wo wirklich die Ränder ein relevantes Resultat liefern.
> 2. Zudem bin ich der Auffassung, dass am Rand "fast immer"
> Extrema vorliegen - waagrechter Verlauf mal ausgenommen.
> Also hier fehlt mir noch was! Aber da brauch' ich nochj 'n
> Weilchen!)
nur zu!
Wir bleiben dran.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 So 30.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi,informix,
> > Nachtrag: Nur mit den "Randextrema" muss ich mir noch was
> > überlegen!
> > (1. Es gibt - ernstzunehmende! - Bücher, die sie zu den
> > relativen Extema hinzunehmen.
> das ist mir neu. Im Unterricht erwähne ich sie meist nur so
> am Rande, weil sie in der weiteren Diskussion fast keine
> Rolle spielen - außer bei den Anwendungsaufgaben
> (=Extremwertaufgaben). Dort sollte man stets auch die
> Ränder untersuchen, mir fehlt es allerdings an Beispielen,
> wo wirklich die Ränder ein relevantes Resultat liefern.
Naja: Da ist doch z.B. diese Aufgabe, wo aus einer rechteckigen Glasscheibe ein parabelförmiges Stück ausgebrochen ist und man aus dem verbliebenen Rest ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt rausschneiden soll. Grade da liegt doch meistens ein Randextremum vor!
(Ich glaub', die Aufgabe war erst vor kurzem hier im Forum!)
mfG!
Zwerglein
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![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]"){kind=small}
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![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]"){kind=small}
![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
