max Ideale in Polynomring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 20.04.2012 | | Autor: | jack1975 |
| Aufgabe | | Sei $k$ ein beliebiger Körper. Zeigen Sie: Jedes maximale Ideal [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] von [mm] $k[x_1, \ldots, x_n]$ [/mm] hat die Form [mm] $\{ f : f(P) = 0 \}$ [/mm] für ein $P [mm] \in \overline{k^n}$. [/mm] Diskutieren Sie auch das Beispiel [mm] $(x^2 [/mm] + 1) [mm] \subset \IR[x]$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich soll die obige Aufgabe lösen. Wir haben in der Vorlesung den schwachen Hilbertschen Nullstellensatz bewiesen, der ja die Frage nach den maximalen Idealen im Falle, dass $k$ algebraisch abgeschlossen ist, beantwortet. Dann wäre [mm] $\mathfreak{m}$ [/mm] gerade von der Form [mm] $(x_1 [/mm] - [mm] \alpha_1, \ldots, x_n [/mm] - [mm] \alpha_n)$. [/mm] Diese Variante haben wir unter anderem mit Hilfe der Noether-Normalisierung bewiesen. Ich vermute mal, dass man den allgemeinen Fall irgendwie auf den Hilbertschen Nullstellensatz zurückspielen kann, aber ich weiß noch nicht so wirklich wie.
Falls $k$ algebraisch abgeschlossen wäre, so ist das $P$ ja gegeben durch [mm] $P=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$. [/mm] Könnte man im allgemeinen Fall dann einfach den algebraischen Abschluss [mm] $\overline{k^n}$ [/mm] betrachten, das maximale Ideal dann vielleicht in den Polynomring über [mm] $\overline{k^n}$ [/mm] einbetten und so die Aussage gewinnen? Oder muss man einen anderen Zugang wählen.
Für jeden Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]k[/mm] ein beliebiger Körper. Zeigen Sie: Jedes maximale
> Ideal [mm]\mathfrak{m}[/mm] von [mm]k[x_1, \ldots, x_n][/mm] hat die Form [mm]\{ f : f(P) = 0 \}[/mm]
> für ein [mm]P \in \overline{k^n}[/mm]. Diskutieren Sie auch das
> Beispiel [mm](x^2 + 1) \subset \IR[x][/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich soll die obige Aufgabe lösen. Wir haben in der
> Vorlesung den schwachen Hilbertschen Nullstellensatz
> bewiesen, der ja die Frage nach den maximalen Idealen im
> Falle, dass [mm]k[/mm] algebraisch abgeschlossen ist, beantwortet.
> Dann wäre [mm]\mathfreak{m}[/mm] gerade von der Form [mm](x_1 - \alpha_1, \ldots, x_n - \alpha_n)[/mm].
> Diese Variante haben wir unter anderem mit Hilfe der
> Noether-Normalisierung bewiesen. Ich vermute mal, dass man
> den allgemeinen Fall irgendwie auf den Hilbertschen
> Nullstellensatz zurückspielen kann, aber ich weiß noch
> nicht so wirklich wie.
> Falls [mm]k[/mm] algebraisch abgeschlossen wäre, so ist das [mm]P[/mm] ja
> gegeben durch [mm]P=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)[/mm]. Könnte man
> im allgemeinen Fall dann einfach den algebraischen
> Abschluss [mm]\overline{k^n}[/mm] betrachten, das maximale Ideal
> dann vielleicht in den Polynomring über [mm]\overline{k^n}[/mm]
> einbetten und so die Aussage gewinnen? Oder muss man einen
> anderen Zugang wählen.
Also das mit der Einbettung des maximalen Ideals kann ja eigentlich nicht funktionieren, denn im Allgemeinen sind Bilder von Idealen unter Homomorphismen keine Ideale mehr.
Aber mir fällt jetzt spontan auch keine Lösung ein.
> jeden Hinweis wäre ich sehr dankbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 22.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]k[/mm] ein beliebiger Körper. Zeigen Sie: Jedes maximale
> Ideal [mm]\mathfrak{m}[/mm] von [mm]k[x_1, \ldots, x_n][/mm] hat die Form [mm]\{ f : f(P) = 0 \}[/mm]
> für ein [mm]P \in \overline{k^n}[/mm]. Diskutieren Sie auch das
> Beispiel [mm](x^2 + 1) \subset \IR[x][/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich soll die obige Aufgabe lösen. Wir haben in der
> Vorlesung den schwachen Hilbertschen Nullstellensatz
> bewiesen, der ja die Frage nach den maximalen Idealen im
> Falle, dass [mm]k[/mm] algebraisch abgeschlossen ist, beantwortet.
> Dann wäre [mm]\mathfreak{m}[/mm] gerade von der Form [mm](x_1 - \alpha_1, \ldots, x_n - \alpha_n)[/mm].
> Diese Variante haben wir unter anderem mit Hilfe der
> Noether-Normalisierung bewiesen. Ich vermute mal, dass man
> den allgemeinen Fall irgendwie auf den Hilbertschen
> Nullstellensatz zurückspielen kann, aber ich weiß noch
> nicht so wirklich wie.
> Falls [mm]k[/mm] algebraisch abgeschlossen wäre, so ist das [mm]P[/mm] ja
> gegeben durch [mm]P=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)[/mm]. Könnte man
> im allgemeinen Fall dann einfach den algebraischen
> Abschluss [mm]\overline{k^n}[/mm] betrachten, das maximale Ideal
> dann vielleicht in den Polynomring über [mm]\overline{k^n}[/mm]
> einbetten und so die Aussage gewinnen? Oder muss man einen
> anderen Zugang wählen.
Ich wuerd's so probieren:
Setze $S = [mm] \overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] und $R := [mm] k[x_1, \dots, x_n]$.
[/mm]
Betrachte das Ideal [mm] $\mathfrak{m}' [/mm] := [mm] \mathfrak{m} [/mm] S$; dies ist ein Ideal in $S$.
Betrachte weiterhin die $k$-Algebra [mm] $S/\mathfrak{m}'$. [/mm] Diese wird durch die Restklassen der Elemente aus $k'$ und die Restklassen der [mm] $x_i$ [/mm] erzeugt. Da $x + [mm] \mathfrak{m}$ [/mm] ganz ueber $k$ ist, ist auch $x + [mm] \mathfrak{m}'$ [/mm] ganz ueber $k$, womit [mm] $S/\mathfrak{m}'$ [/mm] eine ganze Erweiterung von $k$ ist.
Zeige: [mm] $S/\mathfrak{m}'$ [/mm] ist nicht trivial, d.h. $1 [mm] \not\in \mathfrak{m}'$;
[/mm]
Aus allen zusammen folgt, dass [mm] $S/\mathfrak{m}'$ [/mm] eine algebraische Koerpererweiterung von $k$ ist. Da [mm] $S/\mathfrak{m}'$ [/mm] bereits $k'$ enthaelt, muss also [mm] $S/\mathfrak{m} \cong [/mm] k'$ sein. Insbesondere ist [mm] $\mathfrak{m}'$ [/mm] ein maximales Ideal in $S$, womit du den Hilbertschen Nullstellensatz anwenden kannst und [mm] $\mathfrak{m}' [/mm] = [mm] \{ f \in S \mid f(P) = 0 \}$ [/mm] fuer ein $P [mm] \in \overline{k}^n$ [/mm] folgt.
Damit folgt dann [mm] $\mathfrak{m} \subseteq \{ f \in R \mid f(P) = 0 \} \subsetneqq [/mm] R$. Da [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] maximal ist, folgt die Behauptung.
LG Felix
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