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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR^{+} [/mm]
Zeige [mm] y(t)=(\bruch{a}{2}t-\wurzel{y_{0}})^{2} [/mm] genügt dem AWP [mm] y(0)=y_{0} [/mm] , [mm] y'(t)=-a\wurzel{y(t)} [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0.
Bestimme ein max. Intervall auf dem die Lösung eindeutig ist. |
Hallo,
Um zu zeigen, dass y(t) dem AWP Problem genügt, muss ich doch nur zeigen, dass [mm] y'(t)=-a\wurzel{y(t)} [/mm] und, dass [mm] y(0)=y_{0} [/mm] gilt. Oder muss ich noch etwas beachten?
Zum Intervall-Problem:
Hier weiss ich nicht ein mal ob meine Idee richtig ist.
Ich wollte dazu den Satz von Picard-Lindelöf nutzen.
Nur leider bin ich mir nicht sicher, was mit dem f(t,x) gemeint ist.
Also, was ist mein Vektorfeld? kann ich f(t,x) überhaupt explizit angeben?
Ist es f(t,x)=f(t,y(t))?
Gruß, carlos
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Hallo carlosfritz,
> Sei a [mm]\in \IR^{+}[/mm]
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> Zeige [mm]y(t)=(\bruch{a}{2}t-\wurzel{y_{0}})^{2}[/mm] genügt dem
> AWP [mm]y(0)=y_{0}[/mm] , [mm]y'(t)=-a\wurzel{y(t)}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Bestimme ein max. Intervall auf dem die Lösung eindeutig
> ist.
> Hallo,
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> Um zu zeigen, dass y(t) dem AWP Problem genügt, muss ich
> doch nur zeigen, dass [mm]y'(t)=-a\wurzel{y(t)}[/mm] und, dass
> [mm]y(0)=y_{0}[/mm] gilt. Oder muss ich noch etwas beachten?
>
Hier musst Du noch darauf achten, daß [mm]y(0)=y_{0} \ge 0[/mm] ist.
>
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> Zum Intervall-Problem:
>
> Hier weiss ich nicht ein mal ob meine Idee richtig ist.
> Ich wollte dazu den Satz von Picard-Lindelöf nutzen.
Das ist hier nicht die richtige Idee.
Wendet man auf die DGL
[mm]y'(t)=-a\wurzel{y(t)}[/mm]
die Methode der Trennung der Variablen an, so steht zunächst da:
[mm]\bruch{dy}{\wurzel{y}}=-a \ dt[/mm]
Beiderseitige Integration liefert: [mm]2*\wurzel{y}=C-a*t[/mm]
Die Tatsache, daß die Wurzel aus einer Zahl,
eine positive Zahl liefert, legt den Definitionsbereich
der Lösung fest und zwar in Abhängigkeit von der Konstanten C.
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> Nur leider bin ich mir nicht sicher, was mit dem f(t,x)
> gemeint ist.
> Also, was ist mein Vektorfeld? kann ich f(t,x) überhaupt
> explizit angeben?
> Ist es f(t,x)=f(t,y(t))?
>
> Gruß, carlos
Gruss
MathePower
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Danke für deine Mühen.
Leider bin ich mir nicht sicher, ob wir so etwas machen dürfen. Einfach aus [mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] zwei Integrale machen.... Ich weiss wohl, dass man dies gerne in der Physik und Co macht. Aber in einer Mathematik-VL habe ich das noch nie gesehen.
Vielleicht kommt dies ja die nächsten Tage :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Rechnen liefert:
$ [mm] y'(t)=-a\wurzel{y(t)} [/mm] $ für t $ [mm] \ge [/mm] $ 0
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $|\bruch{a}{2}t-\wurzel{y_0}|=-\bruch{a}{2}t+\wurzel{y_0}$ [/mm] für t $ [mm] \ge [/mm] $ 0
Damit muß gelten:
[mm] $-\bruch{a}{2}t+\wurzel{y_0} \ge [/mm] 0$ für t $ [mm] \ge [/mm] $ 0
Also t [mm] \le [/mm] ??
FRED
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Vielen Dank.
Manchmal ist es halt doch nur rechnen :)
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