maximale Potenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Das Lemma von Legendre besagt:
[mm] \omega_{p}(n!)=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^{2}}\rfloor+..., [/mm] wobei [mm] \omega_{p} [/mm] die größte p-Potenz liefert, die n! teilt.
Bsp.: [mm] \omega_{2}(3!)=\lfloor\frac{3}{2}\rfloor=1, [/mm] also [mm] 2^{1}|3!=6. [/mm] Zeigen Sie: Ist p eine Primzahl, so ist [mm] \omega_{p}(n!)\neq p\,\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}.
[/mm]
Zusatz: Man zeige, dass es neben p noch weitere Zahlen [mm] \in\mathbb{N} [/mm] gibt, die nicht als Werte [mm] \omega_{p}(n!) [/mm] auftreten können. |
Hallo,
ich habe irgendwie keinen vernünftigen Ansatz gefunden, wie ich das zeigen kann, auch wenn ich schon so einiges ausprobiert habe.
Zunächst habe ich mehrere Fälle unterschieden, etwa p>n, p=n und p<n. Für p>n und p=n ist die Behauptung offensichtlich richtig. Nur für p<n will es mir nicht gelingen. Muss ich noch weitere Fälle unterscheiden? Wie kann ich mich der Sache annähern?
Was ist mit dem Zusatz? Ich denke mal, dass es kein n gibt, sodass [mm] \omega_p(n!)=n? [/mm] Mit dem Beweis hakts genauso. Gibt es noch weitere Zahlen, die nicht als maximale Potenz auftreten können?
Gruß Unk
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Hallo Unk,
nette Aufgabe. 
Für [mm] p\ge{n} [/mm] ist sie in der Tat trivial.
Also ein paar Tipps zu p<n und zum Zusatz:
1) Für welches größte N ist [mm] \omega_p(N)=p-1 [/mm] ?
2) Wie groß ist dann [mm] \omega_p(N+1) [/mm] ?
3) Der Zusatz ist schwieriger. Wahrscheinlich wird es genügen, zu zeigen, dass [mm] \omega_p [/mm] auch nicht die Werte p+k(p+1) für [mm] 0\le{k
Falls Du mit Beispielen hantieren willst, nimm [mm] \omega_5. [/mm] Es kann u.a. folgende Werte nicht annehmen:
[mm] 5,11,17,23,29;30,36,\cdots,60;61,...,91;92...;...(...)...153;154;155,...
[/mm]
Na dann, viel Erfolg!
reverend
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