maximale UG in p-Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 17.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm] p^m>1, [/mm] m [mm] \in \IN, [/mm] p prim.
a) Zeige: Jede maximale Untergruppe von G ist Normalteiler vom Index p.
b) Sei N der Schnitt der maximalen Untergruppen von G. Zeige: G/N ist abelsch und hat Exponent p (Exponent= kgV der Elementordunungen) |
Hallo,
hab mir zu a überlegt:
Nach Wielandt gibt es zu jedem [mm] p^k||G| [/mm] eine Untergruppe [mm] H\leq [/mm] G, [mm] |H|=p^k.
[/mm]
Also gibt es auch Untergruppen U der Ordung [mm] p^{m-1}. [/mm] Diese sind maximale Untergruppen (wegen Lagrange) und normal, da sonst der Normalisator [mm] N_G(U) [/mm] echt in G enthalten, im Widerspruch zur Maximalität von U.
Doch ich müsste auch noch zeigen, dass jede Untergruppe H, die Ordnung [mm] p^k, [/mm] k<m-1 hat, in einer solchen Untergruppe enthalten ist. Wie das geht, dazu hab ich leider keine Idee...
zu b) Da find ich gar keinen Ansatz, hat jemand eine Idee?
Lg, Verena
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> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^m>1,[/mm] m [mm]\in \IN,[/mm] p prim.
> a) Zeige: Jede maximale Untergruppe von G ist Normalteiler
> vom Index p.
> [...]
> hab mir zu a überlegt:
> Nach Wielandt gibt es zu jedem [mm]p^k||G|[/mm] eine Untergruppe
> [mm]H\leq[/mm] G, [mm]|H|=p^k.[/mm]
> Also gibt es auch Untergruppen U der Ordung [mm]p^{m-1}.[/mm] Diese
> sind maximale Untergruppen (wegen Lagrange) und normal, da
> sonst der Normalisator [mm]N_G(U)[/mm] echt in G enthalten, im
> Widerspruch zur Maximalität von U.
Ja, unter Benutzung der Nilpotenz von p-Gruppen und Burnsides Lemma.
> Doch ich müsste auch noch zeigen, dass jede Untergruppe H,
> die Ordnung [mm]p^k,[/mm] k<m-1 hat, in einer solchen Untergruppe
> enthalten ist.
Das ist nicht verlangt. "Maximal" heißt nur, dass es keine größere echte Untergruppe gibt. Die Aussage, dass jede echte Untergruppe in (irgend)einer maximalen Untergruppe enthalten ist, hat damit nichts zu tun. Sie ließe sich jedoch für endliche Gruppen leicht per Induktion nach der Gruppengröße zeigen.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Fr 18.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo SirJective,
> > Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^m>1,[/mm] m [mm]\in \IN,[/mm] p prim.
> > a) Zeige: Jede maximale Untergruppe von G ist
> Normalteiler
> > vom Index p.
> > [...]
> > hab mir zu a überlegt:
> > Nach Wielandt gibt es zu jedem [mm]p^k||G|[/mm] eine Untergruppe
> > [mm]H\leq[/mm] G, [mm]|H|=p^k.[/mm]
> > Also gibt es auch Untergruppen U der Ordung [mm]p^{m-1}.[/mm]
> Diese
> > sind maximale Untergruppen (wegen Lagrange) und normal, da
> > sonst der Normalisator [mm]N_G(U)[/mm] echt in G enthalten, im
> > Widerspruch zur Maximalität von U.
>
> Ja, unter Benutzung der Nilpotenz von p-Gruppen und
> Burnsides Lemma.
Stimmt meine Argumentation nicht? Wo müsste ich das noch verwenden?
> > Doch ich müsste auch noch zeigen, dass jede Untergruppe H,
> > die Ordnung [mm]p^k,[/mm] k<m-1 hat, in einer solchen Untergruppe
> > enthalten ist.
>
> Das ist nicht verlangt. "Maximal" heißt nur, dass es keine
> größere echte Untergruppe gibt. Die Aussage, dass jede
> echte Untergruppe in (irgend)einer maximalen Untergruppe
> enthalten ist, hat damit nichts zu tun. Sie ließe sich
> jedoch für endliche Gruppen leicht per Induktion nach der
> Gruppengröße zeigen.
Ich hab gedacht, ich müsste noch zeigen, dass ein Untergruppe der Ordnung [mm] p^k,k
Lg Verena
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> > > Also gibt es auch Untergruppen U der Ordung [mm]p^{m-1}.[/mm]
> > > Diese
> > > sind maximale Untergruppen (wegen Lagrange) und normal, da
> > > sonst der Normalisator [mm]N_G(U)[/mm] echt in G enthalten, im
> > > Widerspruch zur Maximalität von U.
> >
> > Ja, unter Benutzung der Nilpotenz von p-Gruppen und
> > Burnsides Lemma.
>
> Stimmt meine Argumentation nicht? Wo müsste ich das noch
> verwenden?
Nilpotente Gruppen haben nach Burnsides Lemma die Eigenschaft, dass jede Untergruppe eine echte Untergruppe ihres Normalisators ist. Damit stimmt deine Argumentation.
Im allgemeinen könnte aber der Normalisator einer maximalen Untergruppe mit der Untergruppe übereinstimmen, so dass diese nicht normal wäre.
> > > Doch ich müsste auch noch zeigen, dass jede Untergruppe H,
> > > die Ordnung [mm]p^k,[/mm] k<m-1 hat, in einer solchen Untergruppe
> > > enthalten ist.
> >
> > Das ist nicht verlangt. [...]
>
> Ich hab gedacht, ich müsste noch zeigen, dass ein
> Untergruppe der Ordnung [mm]p^k,k
> kann...
Du hast recht, das hatte ich nicht bedacht.
Hier kannst du eine weitere Äquivalenz in Burnsides Lemma benutzen: Maximale Untergruppen sind normal. Nimm also an, es gäbe eine maximale Untergruppe U der Ordnung [mm] $p^k, [/mm] k<m-1$, dann ist sie normal. Betrachte die Faktorgruppe $G/U$ und beachte, dass deren Untergruppen mit Zwischengruppen $U [mm] \subset [/mm] V [mm] \subset [/mm] G$ korrespondieren.
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Sa 19.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Danke, SirJective, hab a) jetzt verstanden.
Lg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 So 20.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^m>1,[/mm] m [mm]\in \IN,[/mm] p prim.
> a) Zeige: Jede maximale Untergruppe von G ist Normalteiler
> vom Index p.
> b) Sei N der Schnitt der maximalen Untergruppen von G.
> Zeige: G/N ist abelsch und hat Exponent p (Exponent= kgV
> der Elementordunungen)
>
> zu b) Da find ich gar keinen Ansatz, hat jemand eine Idee?
Ja. Sei $g [mm] \in [/mm] G$ und $M$ eine beliebige maximale Untergruppe von $G$. Dann ist $|G/M| = p$, also nach Fermat $g^pM = [mm] (gM)^p [/mm] = M$ in $G/M$. Das bedeutet jedoch, dass [mm] $g^p \in [/mm] M$ ist. Da $M$ beliebig war, folgt [mm] $g^p \in [/mm] N$, also [mm] $(gN)^p [/mm] = g^pN = N$. Aber somit hat jedes Element in $G/N$ hoechstens Ordnung $p$.
Es verbleibt zu zeigen, das es ueberhaupt Elemente mit Ordnung [mm] $\neq [/mm] 1$ in $G/N$ gibt (die muessen dann nach Lagrange Ordnung $p$ haben, womit die Behauptung folgt). Aber wenn $|G/N| = 1$ ist, dann ist $N = G$, was nicht geht, da $N$ in jeder maximalen Untergruppe enthalten ist und somit $N [mm] \subsetneqq [/mm] G$ gilt!
Seien nun $g, h [mm] \in [/mm] G$. Es ist zu zeigen, dass $g h [mm] g^{-1} h^{-1} \in [/mm] N$ liegt: Das bedeutet gerade, das $(gN) (hN) = (hN) (gN)$ in $G/N$ ist. Ist $M$ eine beliebige maximale Untergruppe, so ist $G/M$ von der Ordnung $p$, also zyklisch. Und damit gilt (gleiches Argument wie gerade) $g h [mm] g^{-1} h^{-1} \in [/mm] M$. Und damit folgt ebenso wie vorhin die Behauptung...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 28.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
zuerst schien mir die Argumentation von Dir ganz klar, doch jetzt hab ich's mir nochmal angeschaut, und verstehe
nicht ganz, warum
> Seien nun [mm]g, h \in G[/mm]. Es ist zu zeigen, dass [mm]g h g^{-1} h^{-1} \in N[/mm]
> liegt: Das bedeutet gerade, das [mm](gN) (hN) = (hN) (gN)[/mm] in
> [mm]G/N[/mm] ist.
gilt. Der Kommutator von (gN)und (hN) in G/N ist, hab ich mir gedacht, [mm]g^{-1}N hN gN h^{-1} N[/mm]. Und wenn
der für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$ in N liegt, würde folgen, dass G/N abelsch. Doch warum gilt $g h [mm] g^{-1} h^{-1}=gN [/mm] hN [mm] g^{-1}N h^{-1}N$ [/mm] ?
Oder brauch ich das gar nicht? Kannst Du mir da bitte nochmal helfen?
LG, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 28.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Verena,
ich übernehme mal eben ganz fix.
> Hallo Felix,
>
> zuerst schien mir die Argumentation von Dir ganz klar, doch
> jetzt hab ich's mir nochmal angeschaut, und verstehe
> nicht ganz, warum
>
> > Seien nun [mm]g, h \in G[/mm]. Es ist zu zeigen, dass [mm]g h g^{-1} h^{-1} \in N[/mm]
> > liegt: Das bedeutet gerade, das [mm](gN) (hN) = (hN) (gN)[/mm] in
> > [mm]G/N[/mm] ist.
>
> gilt. Der Kommutator von (gN)und (hN) in G/N ist, hab ich
> mir gedacht, [mm]g^{-1}N hN gN h^{-1} N[/mm].
Meistens nimmt man wohl gN hN [mm] g^{-1}N h^{-1}N
[/mm]
> Und wenn
> der für alle [mm]g,h\in G[/mm] in N liegt,
besser: ...gleich N ist, ...
> würde folgen, dass G/N
> abelsch. Doch warum gilt [mm]g h g^{-1} h^{-1}=gN hN g^{-1}N h^{-1}N[/mm]
> ?
Das gilt ja auch so nicht, sondern es gilt
g h [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] N =: gN hN [mm] g^{-1}N h^{-1}N
[/mm]
weil man in der Quotientengruppe die Verknüpfung über Vertreter der Restklassen definiert, was wiederum nur funktioniert, wenn N ein Normalteiler ist.
Jetzt etwas klarer (oder noch mysteriöser)?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mo 28.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Dieter, danke, ja jetzt ist's mir klarer.
N ist ja Normalteiler, da er der Durchschnitt von Normalteilern ist, und sonst wäre G/N ja gar keine Gruppe, da hab ich nicht
mehr drangedacht...
Lg, Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mo 21.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
ein geschickter Beweis  ... Ich hab da ewig rumgeknobelt...
Ganz herzlichen Dank!!
Verena
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