maximaler Flächeninhalt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{1}{4}*(x-4)^2
[/mm]
g(x)= [mm] -\bruch{1}{16}x^2+\bruch{1}{2}x+4
[/mm]
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hi
ich hab folgende aufgabe:
"Die Schaubilder der Funktionen (siehe oben) schneiden sich in den Punkten A und D. Die Gerade x=a mit 0 < a < 8 schneidet f(x) in B sowie g(x) in C.
Für welches a nimmt der Flächeninhalt des Dreiecks ABC seinen maximalen Wert an ?"
zuerst habe ich die 2 gleichungen gleich gesetzt und die beiden schnittpunkte A und D berechnet was bei mir folgendes ergibt A(0,4) und D(8,4)
den punkt D, brauch ich doch für die aufgabe nicht oder?
jetzt muss ich ja ne gleichung für das Dreieck aufstellen? nur hab ich jetzt kein plan wie es weiter geht...
könnte mir diesmal vll einer die lösung gleich verständlich hinschreiben ohne das ich noch lange rumknobeln muss, da ich etwas unter zeitdruck bin ;)
mfg stargate
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Hallo, eine Skizze hilft immer weiter, betrachte die Strecke [mm] \overline{BC} [/mm] als Grundseite g des Dreieckes, die Höhe h steht senkrecht auf der Strecke [mm] \overline{BC} [/mm] und verläuft durch den Punkt A, für das Dreieck gilt [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h, [/mm]
die Grundseite g kannst du berechnen:
[mm] f(a)-g(a)=\bruch{1}{4}(a-4)^{2}-(-\bruch{1}{16}a^{2}+\bruch{1}{2}a+4)
[/mm]
die Höhe h kannst du angeben durch :
a
stelle jetzt A(a)= .... auf, dann Extremwertbetrachtung
deine Punkte A und D sind korrekt, D benötigst du für die weitere Rechnung nicht, A liegt auf der y-Achse, was ja für die Rechnung sehr von Vorteil ist,
Steffi
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hi
ja ist dann A(a) folgendes ?
[mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{4}(a-4)^{2}-(-\bruch{1}{16}a^{2}+\bruch{1}{2}a+4) [/mm] )*a
und von dem dann das maxima berechnen ? da kommt bei mir a1=0 und [mm] a2=\bruch{16}{3} [/mm] raus, allerdings ist a2 nen minima und a1 ist nen maxima aber 0 kann ja eigentlich nicht sein !?
wenn ich von der obigen gleichung die erste ableitung bilde kommt bei mir
[mm] \bruch{15}{32}a^2 [/mm] - [mm] \bruch{10}{4}a [/mm] raus..
mfg stargate
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Hallo stargate,
alles richtig gerechnet!
Natürlich ist bei 0 das Minimum und bei [mm] \bruch{16}{3} [/mm] das Maximum, aber so wie die Funktion aufgestellt ist, muss es umgekehrt herauskommen. Im Bereich [mm] 0\le x\le8 [/mm] steht da nämlich "kleinere Funktion minus größere Funktion" - Dein Dreieck hat einen negativen Flächeninhalt. Es geht aber um den Betrag der Fläche, also kehrt sich das Vorzeichen um, auch das aller Ableitungen, und - schwupps - wird das Minimum ein Maximum und umgekehrt.
Und sie lebten glücklich und zufrieden bis an das Ende ihrer Aufgaben...
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hi
also hat das dreieck für a = [mm] \bruch{16}{3} [/mm] den größten flächeninhalt ?
so ganz hab ich das jetzt noch nicht kapiert wieso die maxima, minima vertauscht sind..
bei a1=0 bekomme ich für die 2. ableitung [mm] -\bruch{10}{4} [/mm] was ja normalerweise nen maximum wäre und bei [mm] a2=\bruch{16}{3} [/mm] bekomme ich [mm] \bruch{145}{6} [/mm] raus was normalerweise nen minimum wäre...
mfg stargate
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Du berechnest die Fläche Deines Dreiecks richtig aus [mm] \bruch{1}{2}Grundseite*Höhe. [/mm] Leider ist die Funktion, die die Grundseite in Abhängigkeit von a angibt, so definiert, dass im betrachteten Bereich die Grundseite eine negative Länge hat. Damit bekommt das Dreieck eine negative Fläche, und die von Dir betrachteten Ableitungen haben ebenfalls alle das falsche Vorzeichen.
[mm] a=\bruch{16}{3} [/mm] ist die richtige Lösung.
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