maximales Dreieck bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
Hallo Leuts!
Ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:
Einem Viertelkreis mit dem Radius r=5 wird ein Dreieck OPQ einbeschrieben. Für welchen Winkel [mm] \alpha [/mm] wird der Inhalt des Dreiecks maximal?
die anderen Seiten des dreiecks sind mit b und a bezeichnet!
Ja und ich habe mehrmals versucht auf die Zeilfunktion mit cosinus und sinus zu gelangen, aber ich komme nicht wirklich auf eine sinnvolle zielfunktion. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Fr 07.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo,
> Ja und ich habe mehrmals versucht auf die Zeilfunktion mit
> cosinus und sinus zu gelangen, aber ich komme nicht
> wirklich auf eine sinnvolle zielfunktion. Vielleicht könnt
> ihr mir ja helfen, danke!
Das ist doch schon mal ein sehr guter Ansatz. Deine Zielfunktion soll ja die Fläche eines Dreiecks in Abhängigkeit eines Winkels ( [mm] \alpha) [/mm] beschreiben. Also brauchst du als Erstes die Formel für die Fläche eines Dreiecks:
A= [mm] \bruch{1}{2}a*h [/mm] (a ist Grundseite, h ist Höhe)
Nun, kannst du ja sagen, dass die Grundseite des Dreiecks an der x-Achse des Koordinatensystems "festkleben" soll, d.h. deine Grundseite (a) ist dann konstant (=r).
Also:
A(h)= [mm] \bruch{1}{2}*5*h= \bruch{5}{2}h
[/mm]
Diese Funktion ist jetzt allerdings von h abhängig und nich von [mm] \alpha, [/mm] wie wir es brauchen. Also müssen wir h in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] ausdrücken, und das geht sehr gut mit dem Sinus.
Mach dir einfach eine kleine Skizze, in die du das Dreieck und h einzeichnest und überleg dir, wie du das machen könntest.
Ableitung und Nullstellen bestimmen ist dann ein Kinderspiel 
Falls du nicht darauf kommst, kann ich gerne den Rest noch posten, aber versuch es erstmal alleine.
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
danke erstmal für deine antwort
aber in deinem ansatz stellt sich für mich jetzt schon ein neues problem.
Die Grundseite ist doch nicht unbedingt gleich r.
Diese kann doch auch kleiner als r sein
Also in meinem Schulbuch ist eine Skizze.
Also vielleicht sollte ich noch dazu sagen, das es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt und die Hypothenuse gleich dem Radius r entspricht.
Die Seite b liegt auf der x-achse, muss aber nicht dem radius enstprechen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 07.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
aha, ich war nämlich davon ausgegangen, dass sowohl P, als auch Q auf dem Kreisumfang liegen, und das Dreieck somit nicht rechtwinklig ist. Jetzt macht die Aufgabe auch mehr Sinn...
Also, die Fläche eines Dreiecks ist wie gesagt:
[mm] A=\bruch{1}{2}a*h
[/mm]
D.h. du musst für a und h jeweils einen Term finden, der von [mm] \alpha [/mm] abhängig ist. Wenn du dir die Skizze anschaust müsstest du relativ schnell drauf kommen (es handelt sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck).
Zur Erinnerung:
[mm] sin(\alpha)= \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)= \bruch{Ankathete}{Hypotenuse}
[/mm]
Die Gegenkathete ist die Seite die [mm] \alpha [/mm] gegenüber liegt.
Die Hypotenuse ist die Seite die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
Die Ankathete ist die noch verbleibende Seite (zwischen dem rechten Winkel und [mm] \alpha).
[/mm]
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
ja irgendwie so sollte es gehen, dass ist richtig
aber irgendwie ergibt sich dann immer so eine komische zielfunktion, die ich nie schaffe nach dem ableiten aufzulösen
irgendwie komem ich trotz allem nicht weiter.
diese aufgabe haben es immer in sich, schrecklich!
ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo kokow!
Haben wir Dich hier überhaupt schon begrüßt?
Dann jetzt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> ja irgendwie so sollte es gehen, dass ist richtig
> aber irgendwie ergibt sich dann immer so eine komische
> zielfunktion, die ich nie schaffe nach dem ableiten
> aufzulösen
Poste Deine Zielfunktion / Ableitung und Umformung(en) mal hier ...
Dann könne wir Dir auch konkrekt und gezielt unter die Arme greifen sowie auf evtl. Fehler hinweisen.
> irgendwie komem ich trotz allem nicht weiter.
> diese aufgabe haben es immer in sich, schrecklich!
Das wird schon ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
hey! Danke für eure begrüßung, bin auch relativ neu hier.
also dann versuche ich es mal.
In der Flächenformel des Dreieckes habe ich die Grundfläche und die Höhe versucht zu ersetzen.
Dazu habe ich natürlich erstmal die Höhe eingezeichnet .
b (liegt auf der x-achse) = cos [mm] \alpha [/mm] *r
h = sin [mm] \alpha [/mm] *b
dann ist meine zielfunktion:
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] *r *sin [mm] \alpha [/mm] *b
r ist ja gleich 5
also:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * cos [mm] \alpha [/mm] *5 *sin [mm] \alpha [/mm] *b
so jetzt weiß ich aber nicht ob das richtig ist
und zugleich hab ich shcon Probleme die Funktion abzuleiten.
Danke für eure weitere Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
also bei mir wäre sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a}{r}
[/mm]
so deswegen habe ich die höhe eingezeichnet und diese bildet auf r einen neuen rechten winkel und die hypothenuse wäre doch dann b
für das kleine neue dreieck gilt doch dann:
also sin [mm] \alpha= \bruch{h}{b}
[/mm]
also h= sin [mm] \alpha [/mm] *b
oder reime ich mir da gerade was zusammen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 07.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
> also bei mir wäre sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{a}{r}
[/mm]
ah, jetzt verstehe ich dein Problem. Wir sprechen beide von unterschiedliches h's. Zur veranschaulichung mach ich jetzt mal ne kleine "Skizze":
/|
/ |
r / |
/ | h
/ |
/ |
/______|
a
Versuchs nochmal mit dieser "Skizze"
Grüße,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
> /|
> / |
> r / |
> / | a
> / |
> / |
> /______|
> b
so sieht das dreieck aus wie es in meinem schzlbuch abgebildet ist
jetzt geht von links oben nach unten rechts der viertel kreisbogen
und jetzt habe ich h auf r gezeichnet
oder ist das etwa falsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Fr 07.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
> so sieht das dreieck aus wie es in meinem schzlbuch
> abgebildet ist
>
> jetzt geht von links oben nach unten rechts der viertel
> kreisbogen
> und jetzt habe ich h auf r gezeichnet
> oder ist das etwa falsch
Nein, falsch nicht, aber unnötig. Du kannst ja einfach als Grundseite b nehmen, dann ist die Höhe nämlich a.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Fr 07.01.2005 | | Autor: | kokow |
ja danke, danke
darauf wäre ich jetzt nicht mehr gekommen.
obwohl das ja eigentlich auch logisch ist. aber ich starr da immer drauf und seh sowas einfach nicht.
danke. müsste jetzt eigentlich echt so stimmen
ciao
jetzt hoffe ich, bin mir eigentlich ziemlich sicher, das ich den rest jetzt so hinbekomme
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 09.01.2005 | | Autor: | kokow |
Ich habe jetzt Probleme diese gelichung abzuleiten
bzw. nach dem 0-setzen das Problem auf eine Lösung zu kommen
kann mir da vielleicht nochmal jemand weiterhelfen
danke auch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 09.01.2005 | | Autor: | kokow |
es handelt sich um diese gleichung, bei der ich auf keine lösung komme
[mm] \bruch{25}{2} [/mm] * sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend kokow!
[mm] $f(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{25}{2} [/mm] * [mm] sin(\alpha) [/mm] * [mm] cos(\alpha)$
[/mm]
Wie weiter oben bereits angedeutet, benötigen wir hier für die Ableitung die  Produktregel.
$(u * v)' = u' * v + u * v'$
$u = [mm] sin(\alpha)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' = [mm] cos(\alpha)$
[/mm]
$v = [mm] cos(\alpha)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' = - [mm] sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $f'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{25}{2} [/mm] * [mm] [\underbrace{cos(\alpha)}_{=u'} [/mm] * [mm] \underbrace{cos(\alpha)}_{=v} [/mm] + [mm] \underbrace{sin(\alpha)}_{=u} [/mm] * [mm] \underbrace{-sin(\alpha)}_{=v'}]$
[/mm]
[mm] $f'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{25}{2} [/mm] * [mm] [cos^2(\alpha) [/mm] - [mm] sin^2(\alpha)]$
[/mm]
Nun etwas klarer ??
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 10.01.2005 | | Autor: | kokow |
[mm]f'(\alpha) = \bruch{25}{2} * [cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)][/mm]
aber wie löse ich die gleichung auf
wie komme ich auf eine quadratische gleichung oder so
ich bin total verzweifelt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 10.01.2005 | | Autor: | dominik |
Das ist nicht so schwierig!
[mm] {f'(\alpha)}= \bruch{25}{2}*[cos^{2} \alpha-sin^{2} \alpha]
[/mm]
Der Satz von Pythagoras gilt auch in der Trigonometrie und lautet:
[mm] sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha=1 \gdw cos^{2} \alpha=1-sin^{2} \alpha.
[/mm]
Dieser Ersatz wird in der Gleichung eingesetzt:
[mm] f'(\alpha)= \bruch{25}{2}*[1-sin^{2} \alpha-sin^{2} \alpha]=\bruch{25}{2}*[1-2*sin^{2} \alpha]
[/mm]
Wird nun die erste Ableitung gleich Null gesetzt, kann der Bruch [mm] \bruch{25}{2} [/mm] weggelassen werden, da er ein Faktor ist:
[mm] f'(\alpha)=0 \gdw 1-2*sin^{2} \alpha=0 \gdw 1=2*sin^{2} \alpha \gdw sin^{2} \alpha=\bruch{1}{2}=\bruch{1}{4}*2 \gdw sin\alpha=\bruch{1}{2} \wurzel{2} \Rightarrow \alpha=30° \vee \alpha=150°
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 10.01.2005 | | Autor: | kokow |
Kann es sein das du dich verrechnet hast
lautet der Winkel nicht
[mm] \alpha [/mm] = 45° oder [mm] \alpha [/mm] = 135°
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Du hast recht:
Zum sin-Wert von [mm] $\bruch{1}{2}\wurzel{2}$ [/mm] gehören natürlich die Winkelwerte
von [mm] $\alpha [/mm] = 45°$ bzw. [mm] $\alpha [/mm] = 135°$.
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mo 10.01.2005 | | Autor: | dominik |
Klar, es sind die andern Winkel. Danke für den Hinweis!
dominik
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