mehrdimensionale Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 12.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Überprüfe die Funktion [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] mit
a) [mm] f(x,y):=\begin{cases} 2*(x+y)*cos\bruch{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & f(x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
Als Hinweis ist noch angegeben, dass man zeigen soll, dass für jede gegen (0,0) konvergierende Folge [mm] ((x_n, y_n))n\in\IN [/mm] die Folge [mm] (f(x_n,y_n))n\in\IN [/mm] gegen f(0,0) konvergiert.
Ich weiß, dass ich Unstetigkeit zeigen kann, wenn ich 2 Teilfolgen finde, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, deren Funktionsgrenzwerte jedoch unterschiedlich sind.
Wie kann ich aber zeigen, dass eine Funktion in einem Punkt stetig ist?
Meine Idee wäre, die Funktion folgend aufzuteilen:
f(x,y)=g(x,y)*h(x,y) mit g(x,y)=2*(x+y) und [mm] h(x,y)=cos\bruch{1}{x^2+y^2}
[/mm]
ist der Zielbereich [mm] \IR, [/mm] so gilt ja, dass die Funktion (g*h)=f stetig ist, wenn die beiden Funktionen g und h stetig sind!
g ist ja stetig im Punkt (0,0), da ich diesen ja hier definieren kann, oder?
also g(0,0)=2*(0+0) = 0
also wäre g schon mal stetig!
oder muss ich hier noch was zeigen?
und wie kann ich jetzt zeigen, dass auch h stetig ist?
oder gibt es einen einfacheren Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 12.03.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|f(x,y)-f(0,0)|=2*|x+y|*|cos\bruch{1}{x^2+y^2}| \le [/mm] 2(|x|+|y|)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 12.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Hm...ist das jetzt das [mm] \varepsilon\delta-Kriterium?
[/mm]
Hab mal versucht Delta zu schätzen:
es gilt ja: [mm] ||x-x_0||=\wurzel{x^2+y^2}<\delta \gdw x^2+y^2<\delta^2
[/mm]
daraus folgt:
[mm] |x|<|\delta| [/mm] und [mm] |y|<|\delta|
[/mm]
und jetzt dein Ansatz
[mm] |f(x,y)-f(0,0)|=2\cdot{}|x+y|\cdot{}|cos\bruch{1}{x^2+y^2}|\le2(|x|+|y|)<2(|\delta|+|\delta|)=2|\delta|+2|\delta|=4|\delta|=4\delta, [/mm]
da ja Delta nach obiger annahme positiv ist
also sollte gelten, dass [mm] 4\delta<\varepsilon
[/mm]
also muss ich mein [mm] \delta<\bruch{\varepsilon}{4} [/mm] wählen, und weil es zu jedem Espilon ein Delta gibt, ist die Funktion stetig im Punkt [mm] x_0=(0,0)
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dodo,
> Hm...ist das jetzt das [mm]\varepsilon\delta-Kriterium?[/mm]
nein, das war ein Hinweis, dass Du in vernünftiger Weise Dir diese Abschätzung
klarmachen und dann benutzen sollst.
> Hab mal versucht Delta zu schätzen:
>
> es gilt ja: [mm]||x-x_0||=\wurzel{x^2+y^2}<\delta \gdw x^2+y^2<\delta^2[/mm]
>
> daraus folgt:
> [mm]|x|<|\delta|[/mm] und [mm]|y|<|\delta|[/mm]
Warum folgt das eigentlich? (Hinweis: Nimm mal das Gegenteil an!)
> und jetzt dein Ansatz
Für [mm] $x^2+y^2 [/mm] < [mm] \delta^2$ [/mm] gilt also [mm] $|x|,\;|y| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] und damit dann
> [mm]|f(x,y)-f(0,0)|=2\cdot{}|x+y|\cdot{}|cos\bruch{1}{x^2+y^2}|\le2(|x|+|y|)<2(|\delta|+|\delta|)=2|\delta|+2|\delta|=4|\delta|=4\delta,[/mm]
> da ja Delta nach obiger annahme positiv ist
Ja.
> also sollte gelten, dass [mm]4\delta<\varepsilon[/mm]
Da oben $|f(x,y)-f(0,0)| [mm] \;\red{<}\; [/mm] 4 [mm] \delta$ [/mm] steht, reicht es, ein $0 < [mm] \delta$ [/mm] mit zudem
$4 [mm] \delta \red{\;\le\;}\varepsilon$ [/mm] anzugeben.
> also muss
kann(!)
> ich mein [mm]\delta<\bruch{\varepsilon}{4}[/mm] wählen,
Du solltest sowas nicht nur sagen, sondern es auch machen, oder begründen,
warum Du sowas machen kannst. Dass das geht, liegt daran, dass das
Intervall
[mm] $]0,\;\varepsilon/4[$ [/mm] NICHT LEER
ist! (Letzteres wegen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\varepsilon/4 [/mm] > 0$!)
Zudem: Du kannst auch [mm] $\delta=\varepsilon/4$ [/mm] wählen, aber natürlich geht auch
jedes kleinere (echt) positives [mm] $\delta.$ [/mm] Also [mm] $\delta:=\varepsilon/(2*\pi)$ [/mm] geht auch!
> und weil es zu jedem Espilon
Epsilon, nicht Espilon
> ein Delta gibt, ist die
> Funktion stetig im Punkt [mm]x_0=(0,0)[/mm]
> Richtig?
Die Formulierung ist etwas lasch, aber ich denke, Du meinst es korrekt. Beachte
aber, dass [mm] $\delta$ [/mm] auch von (0,0) abhängen dürfte.
Ich zeige Dir zudem aber auch mal kurz die Argumentation mit Folgen:
Behauptung: f ist stetig in [mm] $(0,0)\,.$ [/mm] Seien dazu [mm] $\IR^2 \ni z_n=(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0).$
Nach
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17
folgt aus [mm] $\|z_n-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to [/mm] 0$ schon [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to [/mm] 0.$ O.E. können wir [mm] $(x_n,y_n) \not=(0,0)$ [/mm]
für alle [mm] $n\,$ [/mm] annehmen (warum?).
Dann
[mm] $|f(x_n,y_n)-f(0,0)|\red{\,=\,}|2(x_n+y_n)*\cos(\tfrac{1}{{x_n}^2+{y_n}^2})| \le 2|x_n+y_n|$ [/mm] (das würde eigentlich schon reichen)
[mm] $\le$ $2|x_n|+2|y_n [/mm] | [mm] \to [/mm] ...$ ? (Was gehört für die ... da wohl hin?)
P.S. Man kann auf den Satz mit "O.E. ..." verzichten, sollte dann aber auf das
[mm] $\red{\,=\,}$ [/mm] verzichten, also direkt
[mm] $|f(x_n,y_n)-f(0,0)| \le 2|x_n+y_n|$ [/mm] ...
schreiben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 12.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Hallo Marcel!
> Ich zeige Dir zudem aber auch mal kurz die Argumentation
> mit Folgen:
> Behauptung: f ist stetig in [mm](0,0)\,.[/mm] Seien dazu [mm]\IR^2 \ni z_n=(x_n,y_n) \to (0,0).[/mm]
>
> Nach
>
> Bemerkung 8.17
>
> folgt aus [mm]\|z_n-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to 0[/mm] schon [mm]x_n \to 0[/mm]
> und [mm]y_n \to 0.[/mm] O.E. können wir [mm](x_n,y_n) \not=(0,0)[/mm]
> für alle [mm]n\,[/mm] annehmen (warum?).
>
Ok, das ist für mich verständlich!
Wurde auch bei uns in der Vorlesung durchgemacht, dass [mm] x\in\IR^n [/mm] konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen [mm] (x_k^i)_k [/mm] konvergieren
> Dann
>
> [mm]|f(x_n,y_n)-f(0,0)|\red{\,=\,}|2(x_n+y_n)*\cos(\tfrac{1}{{x_n}^2+{y_n}^2})| \le 2|x_n+y_n|[/mm]
> (das würde eigentlich schon reichen)
>
> [mm]\le[/mm] [mm]2|x_n|+2|y_n | \to ...[/mm] ? (Was gehört für die ... da
> wohl hin?)
>
Da ja [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] gegen 0 konvergieren:
[mm] 2|x_n|+2|y_n| \to2*0+2*0=0
[/mm]
Hast du hier dann das Majorantenkriterium verwendet (mit der [mm] \le [/mm] Abschätzung)?
Kann ich das im mehrdimensionalen auch ohne weiteres verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 13.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel!
>
> > Ich zeige Dir zudem aber auch mal kurz die Argumentation
> > mit Folgen:
> > Behauptung: f ist stetig in [mm](0,0)\,.[/mm] Seien dazu [mm]\IR^2 \ni z_n=(x_n,y_n) \to (0,0).[/mm]
>
> >
> > Nach
> >
> >
> Bemerkung 8.17
>
> >
> > folgt aus [mm]\|z_n-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to 0[/mm] schon [mm]x_n \to 0[/mm]
> > und [mm]y_n \to 0.[/mm] O.E. können wir [mm](x_n,y_n) \not=(0,0)[/mm]
> > für alle [mm]n\,[/mm] annehmen (warum?).
> >
>
> Ok, das ist für mich verständlich!
> Wurde auch bei uns in der Vorlesung durchgemacht, dass
> [mm]x\in\IR^n[/mm] konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen [mm](x_k^i)_k[/mm]
> konvergieren
>
> > Dann
> >
> >
> [mm]|f(x_n,y_n)-f(0,0)|\red{\,=\,}|2(x_n+y_n)*\cos(\tfrac{1}{{x_n}^2+{y_n}^2})| \le 2|x_n+y_n|[/mm]
> > (das würde eigentlich schon reichen)
> >
> > [mm]\le[/mm] [mm]2|x_n|+2|y_n | \to ...[/mm] ? (Was gehört für die ... da
> > wohl hin?)
> >
> Da ja [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] gegen 0 konvergieren:
> [mm]2|x_n|+2|y_n| \to2*0+2*0=0[/mm]
>
> Hast du hier dann das Majorantenkriterium verwendet (mit
> der [mm]\le[/mm] Abschätzung)?
> Kann ich das im mehrdimensionalen auch ohne weiteres
> verwenden?
Hier wurde einfach folgendes verwendet: sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen in [mm] \IR, [/mm] ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge und gilt
[mm] |a_n| \le b_n [/mm] für fast alle n,
so ist auch [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Fr 13.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dodo,
> Hallo Marcel!
>
> > Ich zeige Dir zudem aber auch mal kurz die Argumentation
> > mit Folgen:
> > Behauptung: f ist stetig in [mm](0,0)\,.[/mm] Seien dazu [mm]\IR^2 \ni z_n=(x_n,y_n) \to (0,0).[/mm]
>
> >
> > Nach
> >
> >
> Bemerkung 8.17
>
> >
> > folgt aus [mm]\|z_n-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to 0[/mm] schon [mm]x_n \to 0[/mm]
> > und [mm]y_n \to 0.[/mm] O.E. können wir [mm](x_n,y_n) \not=(0,0)[/mm]
> > für alle [mm]n\,[/mm] annehmen (warum?).
> >
>
> Ok, das ist für mich verständlich!
> Wurde auch bei uns in der Vorlesung durchgemacht, dass
> [mm]x\in\IR^n[/mm] konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen [mm](x_k^i)_k[/mm]
> konvergieren
beachte, dass das eine [mm] $\gdw$-Aussage [/mm] ist. Und tatsächlich brauchen wir hier
ja die andere Richtung: Wenn [mm] $z=(z_n)_n \in {(\IR^n)}_{\IN}$ [/mm] konvergiert, dann
konvergieren auch die Koordinatenfolgen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 13.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel!
>
> > Ich zeige Dir zudem aber auch mal kurz die Argumentation
> > mit Folgen:
> > Behauptung: f ist stetig in [mm](0,0)\,.[/mm] Seien dazu [mm]\IR^2 \ni z_n=(x_n,y_n) \to (0,0).[/mm]
>
> >
> > Nach
> >
> >
> Bemerkung 8.17
>
> >
> > folgt aus [mm]\|z_n-(0,0)\|_2=\|(x_n,y_n)\|_2 \to 0[/mm] schon [mm]x_n \to 0[/mm]
> > und [mm]y_n \to 0.[/mm] O.E. können wir [mm](x_n,y_n) \not=(0,0)[/mm]
> > für alle [mm]n\,[/mm] annehmen (warum?).
> >
>
> Ok, das ist für mich verständlich!
> Wurde auch bei uns in der Vorlesung durchgemacht, dass
> [mm]x\in\IR^n[/mm] konvergiert, wenn die Koordinatenfolgen [mm](x_k^i)_k[/mm]
> konvergieren
>
> > Dann
> >
> >
> [mm]|f(x_n,y_n)-f(0,0)|\red{\,=\,}|2(x_n+y_n)*\cos(\tfrac{1}{{x_n}^2+{y_n}^2})| \le 2|x_n+y_n|[/mm]
> > (das würde eigentlich schon reichen)
> >
> > [mm]\le[/mm] [mm]2|x_n|+2|y_n | \to ...[/mm] ? (Was gehört für die ... da
> > wohl hin?)
> >
> Da ja [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] gegen 0 konvergieren:
> [mm]2|x_n|+2|y_n| \to2*0+2*0=0[/mm]
>
> Hast du hier dann das Majorantenkriterium verwendet (mit
> der [mm]\le[/mm] Abschätzung)?
Majorantenkriterium? Wo steht denn hier eine Reihe?
Fred sagt es richtig bzw. wenn überhaupt, dann: Sandwichkriterium
(Einschließkriterium heißt das noch, oder oder oder ... ).
> Kann ich das im mehrdimensionalen auch ohne weiteres
> verwenden?
Nur zur Sicherheit:
Aus
[mm] $|f(z_n)-f(0,0)|=|f(x_n,y_n)-f(0,0)| \to [/mm] 0$
folgt
[mm] $f(z_n)=f(x_n,y_n) \to [/mm] f(0,0)$.
Wenn ich es anders hinschreibe, wirst Du das sofort einsehen:
Setze [mm] $a_n:=f(z_n)=f(x_n,y_n)$ [/mm] und [mm] $a_\infty:=f(0,0).$ [/mm] Dann sage ich nichts anderes als, dass
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_\infty| \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ $a_n \to a_\infty$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
(Tatsächlich kann man da anstatt des [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] ein [mm] $\iff$ [/mm] schreiben!)
Und eigentlich folgt das sogar direkt per Definitionem. (Schreibe Dir das
einfach mal hin: Was bedeutet [mm] $|a_n -a_\infty| \to [/mm] 0$? Und was ist bei [mm] $a_n \to a_\infty$ [/mm] zu zeigen?)
Gruß,
Marcel
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