mehrdimensionales Newtonverf. < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:54 Di 07.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich sitze hier vor folgender Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und eigentlich habe ich keinen blassen Schimmer, wie ich hier vorgehen soll. Ich verstehe auch die Aufgabe nicht ganz, ich kannte das Newtonverfahren nur zum Bestimmen einer Nullstelle, aber hier soll ja wohl etwas anderes getan werden.. Es hapert schon daran, dass ich nicht verstehe, wieso der Startvektor 3 Dimensionen hat (woher kommt dieses Lambda??)
Hoffentlich kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Cisc0,
Um zu vestehen welche "Nullstelle" hier gesucht ist müsstest Du zunächst Aufgabe 1 lösen. Wie weit bist du damit?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Hi!
Wie ich geschrieben habe, ich sitze davor und verstehe die Aufgabe nicht. Ich habe weder in der Vorlesung noch sonst irgendwo jemals gehört oder gesehen, wie man einen Lagrange-Multiplikator verwendet, noch was dieser überhaupt genau ist, bzw. wofür man ihn verwenden kann. Ich hab im Netz die Definition gefunden, aber die hilft leider nicht weiter. Ich fürchte ich bräuchte also auch für Aufgabe 1 zunächst mal eine grundsätzliche Erklärung oder einen Verweis darauf..
Danke auf jeden Fall schonmal!
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Hallo Cisc0,
Wenn Du eine Funktion f(x,y) hast die Du minimieren möchstest(bei Dir der Abstand) wobei die Nebenbedingung g(x,y)=0 gelten soll(Was deinem g entspricht). Dann kann man ein Funktion h(x,y, [mm] \lambda [/mm] ) einführen und deren mögliche Extrempunkte(grad h = 0) bestimmen. Dabei sieht h so aus
[mm] h(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] *g(x,y)
unter den Extrempunkten dieser Funktion h sind auch die gesuchten Extrempunkte.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 09.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Okay, dann versuche ich mein Glück einfach mal, mit Bitte um rege Kritik! ;)
Vorab zwei Sachen, die mir noch nicht ganz klar sind:
- Warum genau soll die Nebenbedingung g(x,y) = 0 gelten?
- Was meinst du mit "grad h gleich 0"?
Aber probieren wir's erstmal:
g(x,y) kann man sich ja als Parabel im R² vorstellen. Dann würde für den Abstand jedes Puntkes zum Ursprung |z| doch gelten z² = x² + y² (Satz des Pythagoras). Also muss ich f(x,y) = x² + y² minimieren.
Damit habe ich alles zusammen, um wie du gesagt hast diese Funktion zu konstruieren:
[mm] h(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] *g(x,y)
So, und auf dieser Funktion suche ich nun ein lokales Minumum, richtg?
Rein intuitiv würde ich sagen, ich setze h'=0. Ich weiß nicht wirklich, wie man eine nichtlineare Funktion ableitet, aber ich würde mal schwer davon ausgehen, ich leite die Gleichung partiell für jede der 3 Variablen ab und komme damit auf folgendes Gleichungssystem:
2x - [mm] \lambda [/mm] * 2x = 0 (Ableitung nach x)
2y - [mm] \lambda [/mm] * 1 = 0 (Ableitung nach y)
x² + y - 1 = 0 (Ableitung nach [mm] \lambda, [/mm] entspricht hier ja g(x))
So, bitte intervenieren, wenn ich hier Müll verzapfe!
Dieses Gleichungssystem löse ich zunächst nach y = 1/2, dann x = [mm] \wurzel{1/2} [/mm] und zuletzt [mm] \lambda [/mm] = 1.
Ist das jetzt schon die Lösung? Oder muss ich noch mit einem hinreichenden Kriterium (naiv würde ich sagen h'' > 0) zeigen, dass es auch ein echtes lokales Minimum ist?
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Hallo Cisc0,
> Vorab zwei Sachen, die mir noch nicht ganz klar sind:
> - Warum genau soll die Nebenbedingung g(x,y) = 0 gelten?
Das stand doch in der Aufgabe oder?
> - Was meinst du mit "grad h gleich 0"?
>
> Aber probieren wir's erstmal:
> g(x,y) kann man sich ja als Parabel im R² vorstellen. Dann
> würde für den Abstand jedes Puntkes zum Ursprung |z| doch
> gelten z² = x² + y² (Satz des Pythagoras). Also muss ich
> f(x,y) = x² + y² minimieren.
>
> Damit habe ich alles zusammen, um wie du gesagt hast diese
> Funktion zu konstruieren:
> [mm]h(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda[/mm] *g(x,y)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So, und auf dieser Funktion suche ich nun ein lokales
> Minumum, richtg?
Man sucht Extremstellen
> Rein intuitiv würde ich sagen, ich setze h'=0. Ich weiß
> nicht wirklich, wie man eine nichtlineare Funktion
> ableitet, aber ich würde mal schwer davon ausgehen, ich
> leite die Gleichung partiell für jede der 3 Variablen ab
> und komme damit auf folgendes Gleichungssystem:
> 2x - [mm]\lambda[/mm] * 2x = 0 (Ableitung nach x)
> 2y - [mm]\lambda[/mm] * 1 = 0 (Ableitung nach y)
> x² + y - 1 = 0 (Ableitung nach [mm]\lambda,[/mm] entspricht hier ja
> g(x))
Da h' ja nicht ganz dasselbe ist schreibt man dafür [mm] \nabla [/mm] h (gesprochen grad h)
> So, bitte intervenieren, wenn ich hier Müll verzapfe!
>
> Dieses Gleichungssystem löse ich zunächst nach y = 1/2,
> dann x = [mm]\wurzel{1/2}[/mm] und zuletzt [mm]\lambda[/mm] = 1.
Also ich bekomme hier 3 Lösungen. Aus der ersten Gleichung folgt schonmal
[mm] \lambda [/mm] =1 oder x=0
> Ist das jetzt schon die Lösung? Oder muss ich noch mit
> einem hinreichenden Kriterium (naiv würde ich sagen h'' >
> 0) zeigen, dass es auch ein echtes lokales Minimum ist?
Brauchst Du hier imho nicht. Wenn Du Dir das Problem anschaust wird klar das es ein Minimum geben muß und das muß auch unter diesen 3 gefundenen Extremstellen der Funktion h sein.
Übrigens ist die Abstandsfunktion eigentlich [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] da die Wurzelfunktion monoton steigend ist ist ein Minimum deiner Funktion aber auch ein Minimum dieser Funktion.
viele Grüße
mathemaduenn
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