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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Mo 12.11.2012 | | Autor: | sunshine137 |
| Aufgabe | Eine Laplace-Münze wird 5mal geworfen. Die Ergebnismenge ist
Ω [mm] =\{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)| a_i \varepsilon \{w ,z\}, i=1,2,..5 \}
[/mm]
Betrachtet werden die beiden folgenden
Zufallgrößen:
X: Anzahl der Wappen bei den 3 ersten Würfen,
Y: Anzahl der Wappen bei den 3 letzten Würfen,
Z = X+Y
a) Bestimmen Sie unter Verwendung kombinatorischer Mittel die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b) Bestimmen Sie unter Verwendung kombinatorischer Mittel die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z=X+Y |
leider habe ich bei der letzten Vorlesung gefehlt, nun komm ich bei der Übung nicht voran und versteh das überhaupt nicht. Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sunshine137,
> Eine Laplace-Münze wird 5mal geworfen. Die Ergebnismenge
> ist
> Ω [mm]=\{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)| a_i \varepsilon {w ,z\}, i=1,2,..5 \}[/mm]
Soll es [mm]\Omega=\{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)|a_i\in\{w ,z\}, i=1,2,..5 \}[/mm] heißen? Also nur bis [mm] a_5 [/mm] statt bis [mm] a_6?
[/mm]
> leider habe ich bei der letzten Vorlesung gefehlt, nun
> komm ich bei der Übung nicht voran und versteh das
> überhaupt nicht. Wäre super wenn mir da jemand
> weiterhelfen könnte
Welche Begriffe sind denn unklar? Zufallsgröße? Die Definition von Z? Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße? Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von zwei Zufallsgrößen?
Die Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße verrät dir, wie du anfangen kannst.
Viele Grüße
Tobias
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ja genau geht nur bis [mm] a_5 [/mm] sorry!
Mir ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von zwei Zufallsgrößen unklar. Ich habe bei der a) einfach X ausgerechnet:
Anzahl der Wappen | wahrschienlichkeit von X
0 [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
1 [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
2 [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
3 [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
ist das soweit richtig?
Wie kann ich nun die b) lösen? Ich muss denk ich mal die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y berechnen, aber wie kann ich dann die von X und Y berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Bitte poste auch Nachfragen als Frage, nicht als Mitteilung.
> Ich habe bei der a) einfach X
> ausgerechnet:
> Anzahl der Wappen | wahrschienlichkeit von X
> 0 [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
> 1 [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
> 2 [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
> 3 [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
Wenn die linke Spalte x angibt und die rechte Spalte den dazugehörigen Wert [mm] $P^X(\{x\})$, [/mm] stimmt das Ergebnis. Inwieweit du das korrekt kombinatorisch begründet hast, kann ich nicht beurteilen, da du uns deinen Lösungsweg vorenthältst...
> Mir ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von
> zwei Zufallsgrößen unklar.
Die gemeinsame Verteilung zweier Zufallsgrößen X und Y ist die Verteilung des Zufallsvektors (X,Y) (der definiert ist durch [mm] $(X,Y)(\omega):=(X(\omega),Y(\omega))$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$), [/mm] also die Verteilung [mm] $P^{(X,Y)}$ [/mm] auf [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben durch
[mm] $P^{(X,Y)}(A)=P((X,Y)\in [/mm] A)$ für alle [mm] $A\subseteq\IR^2$.
[/mm]
[mm] $P((X,Y)\in [/mm] A)$ ist eine Kurzschreibweise für [mm] $P(\{(X,Y)\in A\})$, [/mm] wobei das Ereignis [mm] $\{(X,Y)\in A\}$ [/mm] eine Kurzschreibweise für folgendes Ereignis ist:
[mm] $\{\omega\in\Omega\;|\;(X(\omega),Y(\omega))\in A\}$.
[/mm]
> Wie kann ich nun die b) lösen? Ich muss denk ich mal die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y berechnen, aber wie
> kann ich dann die von X und Y berechnen?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y wird dir nicht weiterhelfen. Gib wie bei a) die gemeinsame Verteilung durch ihre Werte auf Einpunktmengen an. Also für [mm] $x,y\in\{0,1,2,3\}$ [/mm] jeweils
[mm] $P^{(X,Y)}(\{\(x,y)\})=P((X,Y)\in\{(x,y)\})=P(X=x\wedge Y=y)=\ldots$.
[/mm]
Hilfreich, um an eine geschlossene kombinatorische Form zu gelangen: Betrachte das Ereignis [mm] E=\{(\a_1,\ldots,a_5)\in\Omega\;|\;a_3=w\}, [/mm] dass im dritten Wurf Wappen geworfen wird.
Dann gilt [mm] $\{X=x\wedge Y=y\}=(E\cap\{X=x\wedge Y=y\})\cup(E^c\cap\{X=x\wedge Y=y\})$ [/mm] (wobei [mm] $E^c$ [/mm] das Komplement des Ereignisses E bezeichne, also das Ereignis, dass im dritten Wurf kein Wappen geworfen wird). Diese Vereinigung ist disjunkt.
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leider versteh ich deine Antwort nicht wirklich :(
heißt das jetzt dass die Wahrscheinlichverteilung von X und Y [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ist (wegen dem 3. Wurf der sich überschneidet)?
> Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y wird dir nicht
> weiterhelfen. Gib wie bei a) die gemeinsame Verteilung
> durch ihre Werte auf Einpunktmengen an. Also für
> [mm]x,y\in\{0,1,2,3\}[/mm] jeweils
>
> [mm]P^{(X,Y)}(\{\(x,y)\})=P((X,Y)\in\{(x,y)\})=P(X=x\wedge Y=y)=\ldots[/mm].
versteh ich ehrlich gesagt nicht. Wie soll ich denn die GEMEINSAME verteilung durch die Werte herausfinden? Ich könnte das doch nur für Y bezogen auf die anzahl der Wappen 0,1,2,3 machen, und würde halt nur darauf kommen, dass es beim 3.Wurf eine überschneidung gibt!?
sorry für die vielen Fragen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> leider versteh ich deine Antwort nicht wirklich :(
Was genau verstehst du nicht?
> heißt das jetzt dass die Wahrscheinlichverteilung von X
> und Y [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ist (wegen dem 3. Wurf der sich
> überschneidet)?
Nein. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y ordnet jeder Teilmenge [mm] $A\subseteq\IR^2$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit zu, dass (X,Y) einen Wert aus A annimmt. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y ist also keine Zahl, sondern eine Abbildung.
> > Gib wie bei a) die gemeinsame Verteilung
> > durch ihre Werte auf Einpunktmengen an. Also für
> > [mm]x,y\in\{0,1,2,3\}[/mm] jeweils
> >
> > [mm]P^{(X,Y)}(\{\(x,y)\})=P((X,Y)\in\{(x,y)\})=P(X=x\wedge Y=y)=\ldots[/mm].
>
>
> versteh ich ehrlich gesagt nicht.
Ist irgendein Ausdruck unklar? Ist eine Gleichheit ist unklar? Oder ist unklar, dass [mm] $P^{(X,Y)}(\{(x,y)\})$ [/mm] zu bestimmen ist? Oder ist unklar, was mit "Werten einer Verteilung auf Einpunktmengen" gemeint ist?
> Wie soll ich denn die
> GEMEINSAME verteilung durch die Werte herausfinden? Ich
> könnte das doch nur für Y bezogen auf die anzahl der
> Wappen 0,1,2,3 machen, und würde halt nur darauf kommen,
> dass es beim 3.Wurf eine überschneidung gibt!?
Für alle [mm] $x,y\in\{0,1,2,3\}$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass X den Wert x und gleichzeitig Y den Wert y annimmt.
> sorry für die vielen Fragen :(
Du solltest dich eher dafür entschuldigen, dass du zu wenig (konkret) fragst... 
Zur Sicherheit, falls ihr andere Notationen als ich verwendet: Poste mal bitte eure genaue Definition von der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße.
Ich schlage vor, dass du mal deinen Lösungsweg zur a) präsentierst. Ich glaube nämlich, dass die Schwierigkeiten schon beim Verständnis von a) liegen. Du kommst zwar irgendwie zu richtigen Zahlen, scheinst aber mit den Notationen noch nicht zurecht zu kommen. Wie ist [mm] $P^X(\{x\})$ [/mm] definiert für [mm] $x\in\{0,1,2,3\}$?
[/mm]
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