mengenfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
mal wieder eine recht triviale frage, ist mir aber trotzdem nicht gnaz klar:
sei [m] (\Omega, \mathcal{A} ) [/m] ein messraum und [m] \varphi: \mathcal{A} \longrightarrow \overline{\mathbb{R }} [/m] eine [m] \sigma[/m]-additive mengenfunktion. sehe ich das richtig, dass ich die voraussetzung [m] \varphi(\emptyset) = 0 [/m] noch hinzunehmen muss, um zu folgern, dass [m] \varphi [/m] auch additiv ist?
oder - mit anderen worten: additivität ist im allgemeinen kein spezialfall der [m] \sigma [/m]-additivität?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hui
danke. das geht ja richtig schnell mit den antworten hier!
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Naja, gestern war ich ein paar Mal deutlich schneller. 
Aber du trägst ja auch einiges dazu bei, dass es hier schnell geht. Und Leuten, die hier selber helfen, denen helfe ich auch am liebsten und die kommen auch zuerst dran, wenn ich sehe, dass sie eine Frage haben, die ich beantworten kann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
gleich die nächste gelegenheit schnell zu antworten
in elstrodt, maß- und integrationstheorie wird in kapitel IV, § 1 definiert (für [m] (\Omega, \mathfrak{A}) [/m] messraum):
eine abbildung [m] \nu: \mathfrak{A} \to \overline{\mathbb{R}} [/m] heißt ein signiertes Maß, wenn gilt:
(i) [m] \nu(\emptyset) = 0 [/m]
(ii) [m]\nu(\mathfrak{A}) \subset ]-\infty, \infty] [/m] oder [m] \nu(\mathfrak{A}) \subset [-\infty, \infty[ [/m]
(iii) ist [m] A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n [/m] mit disjunkten [m] A_n \in \mathfrak{A} [/m], so gilt: [m] \nu(A) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n) [/m]
dann folgt aber nach deiner aussge (ii) aus (i) und (iii)? warum fordert man dann überhaupt (ii)?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also das mit dem [m] A [/m] ist etwas dumm gelaufen, da ich mich stets vertippt habe. werde es gleich ändern.
ich hätte behauptet, wenn [m] \nu [/m] eine additive mengenfunktion auf einer [m] \sigma [/m]-algebra ist, so kann [m] \nu [/m] nicht beide werte [m] \pm \infty [/m] annehemen, denn wäre [m] \nu(A) = \infty, \; \nu(B) = - \infty [/m] mit [m] A, B [/m] aus der [m]\sigma[/m]-algebra, so ist [m] \nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B \setminus A) = + \infty [/m] (da [m] \nu(B \setminus A) \not= -\infty [/m], sonst wäre [m] \nu [/m] nicht additiv) und [m] \nu(A \cup B) = \nu(B) + \nu(A \setminus B) = - \infty [/m], was ja zu einem widerspruch führt? oder wo liegt mein denkfehler?
so direkt mit der vorhergehenden frage hat es nichts zu tun. ich wusste nur da noch nicht sicher, wann ich die additivität von [m] \nu [/m] verwenden darf.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Tut mir leid, ich kann deine Argumentation nicht nachvollziehen.
> mit [m]A, B[/m] aus der [m]\sigma[/m]-algebra, so ist [m]\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B \setminus A) = + \infty[/m]
> (da [m]\nu(B \setminus A) \not= -\infty [/m], sonst wäre [m]\nu[/m]
> nicht additiv)
Das verstehe ich nicht.
Wäre [mm] $\nu(B \setminus A)=-\infty$, [/mm] dann wäre doch [mm] $\nu(A) [/mm] + [mm] \nu(B \setminus [/mm] A)$ gar nicht definiert?
Sprich: Man braucht doch (ii), um überhaupt (iii) formulieren zu können?
Sonst erhält man eventuell Summen, die [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$ [/mm] enthalten.
Eine Alternative wäre zusagen (statt (ii)): Es gilt (iii), und beide Seiten der Gleichung sind immer definiert. Das aber wäre (ii)+(iii), nur unschöner ausgedrückt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 So 24.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi stefan
ich musste gestern schnell weg, deshalb erst jetzt meine antwort.
ich dachte eine mengenfunktion [m] \varphi [/m] heißt additiv, wenn für disjunktes [m] A, B [/m] gilt:
[m] \varphi(A \cup B) = \varphi(A) + \varphi(B) [/m]
und damit wird ja implizit gefordert, dass wenn die linke seite der gleichheit definiert ist, dass dann auch die rechte seite definiert sein muss und gleich sein muss?
dann folgt aber doch wie in meiner letzten mitteilung gezeigt, dass, wenn beide werte [m] + \infty [/m] und [m] - \infty [/m] angenommen werden, die funktion dann nicht additiv sein kann.
oder habe ich die additivität falsch verstanden?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 So 24.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Vielleicht liegt ein grundsätzliches Missverständnis darüber vor, wann eine mathematische Gleichung eine Bedingung darstellt.
Wenn ich schreibe:
$A(x) = B(x)$,
dann kann dies i.A. nur dann eine mathematische Bedingung sein, wenn $A(x)$ und $B(x)$ für alle betrachteten $x$ definiert ist. (Ansonsten muss ich das an $x$ fordern.)
Ansonsten müsste ich schreiben: Es sei $A(x)$ und $B(x)$ für alle $x$ definiert und es gelte:
$A(x) = B(x)$.
In der Mathematik ist es also üblich, bevor man eine Bedingung hinschreibt, zu garantieren, dass die Bedingung Sinn macht.
Und das wird bei der Formulierung von (iii) erst durch (ii) gewährleistet.
Wie gesagt, wenn man mit (iii) impliziert, dass darin implizit drinsteckt, dass beide Seiten definiert sind (was unüblich ist), dann kann man mit deiner Argumentation auf (ii) verzichten. Das ist aber m.E. schlechter mathematischer Stil.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 So 24.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
danke erstmal für die antwort.
die maß vorlesung verwirrt mich immer mehr: so wie ich das verstanden habe ist, wenn eine mengenfunktion additiv ist, implizit gefordert, dass die summe für jede disjunkte zerlegung der menge auch definiert ist.
ich habe nochmal nachgeschaut und mit dem selben argument, wie von mir oben, wurde beiwesen, dass additive mengenfunktionen nicht beide werte [m] + \infty [/m] und [m] - \infty [/m] annehmen können.
grüße von
einem etwas verwirrten
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
>> ich habe nochmal nachgeschaut und mit dem selben argument,
> wie von mir oben, wurde beiwesen, dass additive
> mengenfunktionen nicht beide werte [m]+ \infty[/m] und [m]- \infty[/m]
> annehmen können.
Dann ist die Vorlesung schlecht.
Im Ernst, das ist eine stilistisch ganz schlechte Beweisführung eures Dozenten, auch wenn sie mit gutem Willen (!) korrekt ist.
Liebe Grüße
Stefan
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