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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein Messraum, [mm] \mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{0,1\},\{2\} \}, [/mm] f: X [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine Abbildung definiert durch:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x =1 \\ -1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } x=2 \end{cases}
[/mm]
Zeige f ist nicht [mm] \mathcal{A} [/mm] messbar |
Hallo. Mir ist bei der Lösung etwas nicht ganz klar.
Sei A [mm] \in B(\mathbb{R}), [/mm] A=(0,5;1,5) (offenes Intervall). [mm] f^{-1}(A)=\emptyset \cup \{1\} \not \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(B(\mathbb{R})) \not \subset \mathcal{A}.
[/mm]
Meine Frage: was soll die leere Menge beim Urbild? Muss die dabei sein, oder ist das einfach die Menge [mm] \{1\} [/mm] ?
lg moerni
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Hallo moerni,
> Sei (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum, [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{0,1\},\{2\} \},[/mm]
> f: X [mm]\to \mathbb{R}[/mm] eine Abbildung definiert durch:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x =1 \\ -1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } x=2 \end{cases}[/mm]
>
> Zeige f ist nicht [mm]\mathcal{A}[/mm] messbar
> Hallo. Mir ist bei der Lösung etwas nicht ganz klar.
> Sei A [mm]\in B(\mathbb{R}),[/mm] A=(0,5;1,5) (offenes Intervall).
> [mm]f^{-1}(A)=\emptyset \cup \{1\} \not \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(B(\mathbb{R})) \not \subset \mathcal{A}.[/mm]
>
> Meine Frage: was soll die leere Menge beim Urbild? Muss die
> dabei sein, oder ist das einfach die Menge [mm]\{1\}[/mm]
Du kannst die Menge $A$ schreiben als [mm] $A=(0,5;1,5)=(0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5)$
[/mm]
Für den ersten und letzten Anteil gibts kein Urbild, lediglich für die 1.
Also ist [mm] $f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}$
[/mm]
Und das liegt nicht in [mm] $\mathcal{A}$
[/mm]
Also ist f nicht [mm] $\mathcal{A},B(\IR)$-messbar.
[/mm]
> lg moerni
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Vielen Dank für die Antwort.
> Also ist
> [mm]f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}[/mm]
>
> Und das liegt nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]
>
> Also ist f nicht [mm]\mathcal{A},B(\IR)[/mm]-messbar.
Achso ist das. Klar.
Aber es reicht ja dann, wenn ich schreibe [mm] \emptyset \cup [/mm] \ [mm] \{1\} [/mm] reicht (also einmal die Leere Menge)? Bei anderen Aufgaben musste ich nämlich die Menge unendlich oft mit der leeren Menge vereinigen... da bin ich etwas verwirrt...
lg moerni
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Hallo nochmal,
> Hallo.
> Vielen Dank für die Antwort.
>
> > Also ist
> >
> [mm]f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}[/mm]
> >
> > Und das liegt nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]
> >
> > Also ist f nicht [mm]\mathcal{A},B(\IR)[/mm]-messbar.
>
> Achso ist das. Klar.
> Aber es reicht ja dann, wenn ich schreibe [mm] $\emptyset \cup\{1\}$ [/mm] reicht (also einmal die Leere Menge)? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, ist ja dasselbe, ich hatte es nur versucht, ganz klein-klein aufzuschreiben, damit klar ist, dass aus der Menge $A$ nur die 1 ein Urbild hat, der Rest eben nicht ...
> Bei anderen Aufgaben musste ich nämlich die Menge unendlich oft mit der leeren Menge vereinigen... da bin ich etwas verwirrt...
Hmm... ich auch ohne die Aufgaben zu kennen 
> lg moerni
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
supi, vielen Dank 
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